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刘益（Template:Bd），河北中山府人，又称为“中山刘先生”，北宋数学家。著有《议古根源》一书二百问；南宋数学家杨辉在《杨辉算法》高度评价刘益在数学上的贡献：“刘益以勾股之术,治演段锁方,撰《议古根源》二百问。带益隅开方实冠前古”[1] 。
杨辉在《杨辉算法》一书中多次引用《议古根源》。直到明代程大位的《算法统宗》还提到《议古根源》这部算书；但从此以后失传。所幸《杨辉算法》多处引用《议古根源》，从这些片断，可知刘益对数学的贡献有三个方面：截积术、演段术和带从开方正负损益法[2]。
学术贡献
截积术
从平面几何图形截取一段已知面积，求截取面积有关的线段长度。
“圆田一段直径十三步，今从边截积三十二步；问：所截弦矢各几步？答数弦十二步矢四步”
刘益得到下列方程
- Template:H4Template:Rod0Template:H9Template:V6 实
- Template:Rod0 方法
- Template:V1Template:H2Template:V8 上廉
- Template:H5Template:Rod2 下廉
- Template:V5 负隅
即四次方程：
演段术
刘益演段图
刘益《议古根源》一书今已失传，但在南宋数学家杨辉的著作中还保留《议古根源》演段术的片段[3]。
杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下：中山刘先生序谓算之术入则诸门出则直田；《议古根源》故立演段百问，盖欲演算之片断也，知片断则能穷根源。
第六问：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？
答曰十二步。
演段曰：和自乘有四段直田积一段差方积，所以用四积减和方余得差方一段，卻取方面。
- 长阔差的平方 =
- 所以 长阔差 = 12
带从开方正负损益法
刘益将贾宪的改进成为解含任意系数的高次方程的方法
例：解下列四次方程
以4为商(矢)
- Template:V4 商
- Template:H4Template:Rod0Template:H9Template:V6 实
- Template:Rod0 方法
- Template:V1Template:H2Template:V8 上廉
- Template:H5Template:Rod2 下廉
- Template:V5 负隅
程序：
1)上商乘负隅并入下廉得三十二
- Template:V4 商
- Template:H4Template:Rod0Template:H9Template:V6 实
- Template:Rod0 方法
- Template:V1Template:H2Template:V8 上廉
- Template:H3Template:Rod2 下廉
- Template:V5 负隅
2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六
- Template:V4 商
- Template:H4Template:Rod0Template:H9Template:V6 实
- Template:Rod0 方法
- Template:Rod2Template:H5Template:V6 上廉
- Template:H3Template:Rod2 下廉
- Template:V5 负隅
3) 又已上商乘上廉得一千二十四为方法
- Template:V4 商
- Template:H4Template:Rod0Template:H9Template:V6 实
- Template:V1Template:Rod0Template:H2Template:V4 方法
- Template:Rod2Template:H5Template:V6 上廉
- Template:H3Template:Rod2 下廉
- Template:V5 负隅
4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六与实相消为零
- Template:V4 商
- Template:Rod0 实
- Template:V1Template:Rod0Template:H2Template:V4 方法
- Template:Rod2Template:H5Template:V6 上廉
- Template:H3Template:Rod2 下廉
- Template:V5 负隅
得矢=4
評價
數學史家錢寶琮說：“宋時已能建立含負係數的四次方程，並能數值求解[4]
参考文献
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Template:中国数学史
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- ↑ 宋 杨辉 《杨辉算法 乘除变通本末 》第236页 辽宁教育出版社 ISBN 7538247394
- ↑ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 第二编 北宋时代 刘益 41-51页
- ↑ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 第二编 北宋时代 刘益演段术 46页
- ↑ 錢寶琮 《中國數學史》上篇
