凸共轭

Template:Unreferenced 在数学中，凸共轭（Template:Lang-en）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威爾納·芬克爾命名。

定义

函数$f:X\to (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为：$f^{\star }:X^{*}\to (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]:x^{*}\to \sup \{⟨x^{*},x⟩-f(x)\mid x\in X\}$

这里，$X$表示实賦範向量空間，$X^{*}$表示$X$的对偶空间。

映射$⟨\cdot ,\cdot ⟩:X^{*}\times X\to (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$表示一个二次型，满足：对于$X^{*}$（$X$）中任意非零元素$x^{*}$，总能在$X$（对应地，$X^{*}$）中找到一个元素$x$使得$⟨x^{*},x⟩=0$。

例子

• 仿射变换$f(x)=⟨a,x⟩-b,a\in {ℝ}^n,b\in ℝ$；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)=\{\begin{array}{cc}b,& x^{*}=a\\ +\mathrm{\infty },& x^{*}\ne a.\end{array}$

• 幂函数$f(x)=\frac{1}{p}|x{|}^p,1<p<\mathrm{\infty }$；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)=\frac{1}{q}|x^{*}{|}^q,1<q<\mathrm{\infty }$ 这里 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

• 绝对值变换$f(x)=\left|x\right|$；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)=\{\begin{array}{cc}0,& \left|x^{*}\right|\le 1\\ \mathrm{\infty },& \left|x^{*}\right|>1.\end{array}$

• 指数函数

$f(x)=e^x$；它的凸共轭是： $f^{\star }\left(x^{*}\right)=\{\begin{array}{cc}{x}^{*}\ln x^{*}-x^{*},& x^{*}>0\\ 0,& x^{*}=0\\ \mathrm{\infty },& x^{*}<0.\end{array}$

性质

逆序性

如果$f\le g$，那么就有$g^{*}\ge f^{*}$。这里的$f\le g$指，对定义域中所有元素$x$，都有$f(x)\le g(x)$成立。

半连续性与两次凸共轭

函数$f$的凸共轭总具有半连续性，因此函数$f$的两次共轭$f^{**}$也具有半连续性。同时，$f^{**}$还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足$f^{**}\le f$。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合適的函数$f$， $f^{**}=f$ 当且仅当$f$是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

$⟨p,x⟩\le f(x)+f^{*}(p)$ ， 这里$x\in X,p\in X^{*}$，$f^{*}$是$f$的凸共轭。

凸性

凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数$f_1,f_2$，$(0,1)$间任意实数$\lambda$，有：${((1-\lambda )f_0+\lambda f_1)}^{\star }\le (1-\lambda )f_0^{\star }+\lambda f_1^{\star }$ 成立。

最小值卷积

对于两个函数f和g，它们的最小值卷积被定义为

$\left(f◻g\right)(x)=\inf \{f(x-y)+g(y)|y\in {ℝ}^n\}.$

如果 f₁, …, f_m 都是Rⁿ上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系

${(f_1◻\cdots ◻f_m)}^{*}=f_1^{*}+\cdots +f_m^{*}.$

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和