公式 (数理逻辑)

Template:Unreferenced 在数理逻辑中，公式是Template:Clarify

公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义（特定于一阶逻辑）：公式是相对于特定语言而定义的；就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数（arity）来指示它所接受的参数的数目。

定义

项的递归定义

• 一个变量

或

• 一个常量符号

或

• $f(t_1,...,t_n)$，这里的$f$是一个n-元函数符号，而$t_1,...,t_n$是项。

公式的递归定义

• $t_1=t_2$，这里的$t_1$和$t_2$是项

或

• $R(t_1,...,t_n)$，这里的$R$是一个n-元关系符号，而$t_1,...,t_n$是项

或

• $(\mathrm{\neg }\phi )$，这里的$\phi$是公式

或

• $(\phi \wedge \psi )$，这里的$\phi$和$\psi$是公式

或

• $(\mathrm{\exists }x)(\phi )$，这里的$x$是一个变量而$\phi$是一个公式。

解释

公式并不一定具备封闭形式（即不一定没有省略号）。

• 阶乘“！”、求和式“∑”和求积式“∏”等都隐含省略号。
• 排列数和组合数等都含有省略号。

按照通项公式去计算有时比按照定义去计算更加复杂。

• 斐波那契数列公式：

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\}=\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}-\frac{(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}}$

但是相比较按照这个公式计算$f_n$，还是按照递归定义：$f_n=f_{n-2}+f_{n-1}(n\ge 3)$进行计算更方便。

根据谓词逻辑的语义推导规则，语义应该具有一致性，就是对于一个命题逻辑语句集f，当且仅当至少存在这样一种解释i，f的一切元素在i之下都是真的，那么，f是语义一致的。在命题逻辑语义学内，一个赋值不能同时把真和假给予某个命题原子式。在命题逻辑语义学中，在同一解释下，一个集合不能既属于某个谓词的外延又不属于该谓词的外延。{现代西方哲学逻辑，复旦大学出版社235页}

参见

• WFF
• 原子公式
• 句子 (数理逻辑)
• 原子句子
• T-模式

外部链接

• NIST數學函數Template:Wayback