全純域

定義中的集合

在數學的多複變函數論中，全純域是在下述意義下為極大的區域：在其上存在一個全純函數，使得不能延拓至更大的區域上。

正式而言，在n維複空間${ℂ}^n$中的開集$\mathrm{\Omega }$稱為全純域，如果不存在非空開集$U\subset \mathrm{\Omega }$和$V\subset {ℂ}^n$，其中$V$是連通的， $V\subset ̸\mathrm{\Omega }$，以及$U\subset \mathrm{\Omega }\cap V$，使得對在$\mathrm{\Omega }$上的每個全純函數$f$，存在一個在$V$上的全純函數$g$，在$U$上有$f=g$。

當n = 1時，每個開集都是全純域。但是，當n ≥ 2時，Template:Tsl指出存在不是全純域的區域。

等價條件

對一個區域$\mathrm{\Omega }$以下條件等價：

1. $\mathrm{\Omega }$是全純域。
2. $\mathrm{\Omega }$是Template:Tsl的。
3. $\mathrm{\Omega }$是Template:Tsl的。
4. $\mathrm{\Omega }$是萊維凸——對每個解析緊曲面列$S_n\subseteq \mathrm{\Omega }$，使得$S_n\to S$及$\partial S_n\to \mathrm{\Gamma }$對某集合$\mathrm{\Gamma }$，我們有$S\subseteq \mathrm{\Omega }$（$\partial \mathrm{\Omega }$ 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。）
5. $\mathrm{\Omega }$有局部萊維性質——對每個點$x\in \partial \mathrm{\Omega }$，存在$x$的鄰域$U$，及在$U\cap \mathrm{\Omega }$上全純的$f$，使得$f$不能延拓到$x$的任何鄰域上。

其中關係$1\iff 2,3\iff 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5$是標準結果。（$1\Rightarrow 3$見岡引理。）主要的困難在證明$5\Rightarrow 1$，即從只是局部定義的不可延拓函數，構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為Template:Tsl，以Template:Tsl命名。最先解出問題的是岡潔，之後是拉爾斯·霍爾曼德爾，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（$\overline{\partial }$問題的一個結果）。

性質

• 若${\mathrm{\Omega }}_1,\dots ,{\mathrm{\Omega }}_n$是全純域，則其交$\mathrm{\Omega }=\bigcap _{j=1}^n{\mathrm{\Omega }}_j$也是全純域。
• 若${\mathrm{\Omega }}_1\subseteq {\mathrm{\Omega }}_2\subseteq \dots$是全純域的上升列，則其併$\mathrm{\Omega }=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}_n$也是全純域。（見Template:Tsl）
• 兩個全純域${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$的積$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$是全純域。
• 第一Template:Tsl在全純域內可解；若再加上一些拓撲假設，第二庫贊問題也可解。

參見

• Template:Tsl
• Template:Tsl
• Template:Tsl

參考

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992