全形 (數學)

在數學的群論中，一個群G的全形Hol(G)是一個特定的群，同時包含群G和其自同構群Aut(G)。群的全形可用半直積或交換群來描述。

以半直積描述

記群G的自同構群為Aut(G)，則G的全形Hol(G)是

$\mathrm{Hol}(G)=G⋊\mathrm{Aut}(G)$

其中的外半直積是對於Aut(G)在G上的自然作用，因此全形上的運算如下：令$(g,\alpha ),(h,\beta )$為Hol(G)的元，其中g, h是G的元，$\alpha ,\beta$是G的自同構，則

$(g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta )$。

以交換群描述

群G以左乘和右乘作用在自身的元素上，定義出兩個從G到G上的對稱群Sym(G)的群同態。左乘對應的群同態為

$\lambda :G\to \mathrm{Sym}(G)$，$\lambda (g)(h)=g\cdot h$；

右乘對應的群同態為

$\rho :G\to \mathrm{Sym}(G)$，$\rho (g)(h)=h\cdot g^{-1}$。

這兩個群同態稱為G的左及右正規表示，並且都是單射（凱萊定理）。換言之，G同構於$\lambda (G)$和$\rho (G)$。G的全形$\mathrm{Hol}(G)$是$\lambda (G)$在$\mathrm{Sym}(G)$中的正規化子。

參考

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