偽內切圓

幾何學中，三角形的偽內切圓^[1]是內切於三角形兩條邊和其外接圓的一個圓。與頂點 $A$ 的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點 $A$ 的偽內切圓」、「 $A$ 所對的偽內切圓」或「 $A$ -偽內切圓」。

關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。

存在性及唯一性的證明

關於點 $A$ 的旁切圓是唯一的。

定義 $Φ$ 為以下兩個幾何變換的複合：先以 $A$ 點為圓心， $\sqrt{A B \cdot A C}$ 為半徑作反演變換；再關於角 $A$ 的平分線作對稱變換。由於反演變換和對稱變換都為雙射且變換前後保留交點的性質， $Φ$ 也有對應的性質。

$A$ 點的旁切圓經 $Φ$ 變換後的圖像為內切於 $A B$ 、 $A C$ ，以及 $A B C$ 外接圓的一個圓，即關於點 $A$ 的偽內切圓。因此關於點 $A$ 的偽內切圓唯一確定。類似地，關於點 $B$ 及點 $C$ 的偽切圓也唯一確定。^[2]

以下公式說明了三角形內切圓半徑 $r$ 和 $A$ -偽內切圓半徑 $ρ_{A}$ 的關係： $r = ρ_{A} \cdot \cos^{2} \frac{α}{2}$ 其中 $α$ 是角 $A$ 的大小^[3]。

三角形內心 $I$ 為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點 $D$ 和 $E$ 組成線段的中點^[4]。

$T_{A} D$ 和 $T_{A} E$ 與圓 $(A B C)$ 除 $T_{A}$ 的交點分別為弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和 $\overset{⌢}{A C}$ 的中點^[4]。

$T_{A} B D I$ 和 $T_{A} C E I$ 為圓內接四邊形^[4]。

$T_{A} I$ 與圓 $(A B C)$ 除 $T_{A}$ 的交點為弧 $\overset{⌢}{B A C}$ 的中點^[4]。