倒易点阵

一个二维晶体及其倒易点阵

倒易点阵（Template:Lang-en），又称倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。

数学描述

一维晶格

对于以$𝒂$为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为

$𝒃=2\pi \frac{𝒂}{a^2}$

二维晶格

对于以$({𝒂}_1,{𝒂}_2)$为基矢的二维晶格，定义其二维平面法线向量为$𝒏$，其倒格子的基矢为

${𝒃}_1=2\pi \frac{{𝒂}_2\times 𝒏}{{𝒂}_1\cdot ({𝒂}_2\times 𝒏)}$

${𝒃}_2=2\pi \frac{𝒏\times {𝒂}_1}{{𝒂}_2\cdot (𝒏\times {𝒂}_1)}$

三维晶格

對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢 $({𝒂}_1,{𝒂}_2,{𝒂}_3)$，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢$({𝒃}_1,{𝒃}_2,{𝒃}_3)$

${𝒃}_1=2\pi \frac{{𝒂}_2\times {𝒂}_3}{{𝒂}_1\cdot ({𝒂}_2\times {𝒂}_3)}$

${𝒃}_2=2\pi \frac{{𝒂}_3\times {𝒂}_1}{{𝒂}_2\cdot ({𝒂}_3\times {𝒂}_1)}$

${𝒃}_3=2\pi \frac{{𝒂}_1\times {𝒂}_2}{{𝒂}_3\cdot ({𝒂}_1\times {𝒂}_2)}$

倒晶格与正晶格的关系

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

${𝒂}_{𝒊}\cdot {𝒃}_{𝒋}=2\pi {\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}2\pi ,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

定义三维中的倒晶格向量G

$𝐆=h{𝒃}_1+k{𝒃}_2+l{𝒃}_3$

其中(h,k,l)为密勒指数，向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系

$\mathbf{|}{𝐆}_{𝐡𝐤𝐥}\mathbf{|}=\frac{2\pi }{d_{hkl}}$

向量G和正晶格向量R有以下关系

$𝐑=c_1{𝒂}_1+c_2{𝒂}_2+c_3{𝒂}_3$

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}𝐆\mathbf{\cdot }𝐑}=1$

三维倒晶格中的晶胞体积Ω_G和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

${\mathrm{\Omega }}_G=\frac{(2\pi {)}^3}{\mathrm{\Omega }}$

倒晶格的物理意义

在此以一维晶格为例。在一个以$𝒂$为基矢的一维晶格中，其波函数应该为布洛赫波

${\psi }_{𝒌}(𝒙)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}𝒌\cdot 𝒙}{u}_{𝒌}(𝒙)$

定义其倒晶格向量

$𝑮=n𝒃,n=0,1,2,\cdots$

$𝒃=2\pi \frac{𝒂}{a^2}$

$𝑮\cdot 𝒂=2\pi n$

以及一个函数

$\begin{array}{cc}{u}_{𝒌\mathit{+}𝑮}(𝒙)& ={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}𝑮\cdot 𝒙}{u}_{𝒌}(𝒙)\\ u_{𝒌\mathit{+}𝑮}(𝒙\mathit{+}𝒂)& ={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}𝑮\cdot 𝒙}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}𝑮\cdot 𝒂}{u}_{𝒌}(𝒙\mathit{+}𝒂)\\ & ={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}𝑮\cdot 𝒙}{u}_{𝒌}(𝒙\mathit{+}𝒂)\\ \end{array}$

由于$u_{𝒌}(𝒙)$是一个布洛赫波包，满足

$u_{𝒌}(𝒙\mathit{+}𝒂)=u_{𝒌}(𝒙)$

所以

$u_{𝒌\mathit{+}𝑮}(𝒙\mathit{+}𝒂)=u_{𝒌\mathit{+}𝑮}(𝒙)$

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

$\begin{array}{cc}{\psi }_{𝒌}(𝒙)& ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}𝒌\cdot 𝒙}{u}_{𝒌}(𝒙)\\ & ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(𝒌\mathit{+}𝑮)\cdot 𝒙}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}𝑮\cdot 𝒙}{u}_{𝒌}(𝒙)\\ & ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(𝒌\mathit{+}𝑮)\cdot 𝒙}{u}_{𝒌\mathit{+}𝑮}(𝒙)\\ & ={\psi }_{𝒌\mathit{+}𝑮}(𝒙)\end{array}$

可见，倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢${𝒃}_{𝒊}$是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关，在能带理论中也用来解释能带的周期性。

倒晶格与晶体衍射

晶体衍射满足布拉格定律

$\begin{array}{c}2d\sin \theta =n\lambda \\ 2\times \frac{2\pi }{\lambda }\sin \theta =\frac{2\pi }{d_n}\\ \end{array}$

定义入射波波矢为$𝒌$，则上述公式可变换为

$\begin{array}{c}|𝒌|=\frac{2\pi }{\lambda }\\ \mathbf{|}{𝐆}_{𝐡𝐤𝐥}\mathbf{|}=\frac{2\pi }{d_{hkl}}\\ 2|𝒌|\sin \theta =|𝐆|\end{array}$

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为${𝒌}_{𝒊}$，反射波波矢为${𝒌}_{𝒐}$，可以得到

$\mathrm{\Delta }𝒌={𝒌}_{𝒐}-{𝒌}_{𝒊}=𝐆$

这个形式也和劳厄方程式相符。

晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中，为什么能量的分布是不連續的。

常见布拉菲晶格的倒晶格

簡單立方晶體

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

${𝒂}_1=a\hat{x}$

${𝒂}_2=a\hat{y}$

${𝒂}_3=a\hat{z}$

體積為

${𝒂}_1\cdot {𝒂}_2\times {𝒂}_3=a^3$

可推得倒晶格的素格子基矢

${𝒃}_1=\frac{2\pi }{a}\hat{x}$

${𝒃}_2=\frac{2\pi }{a}\hat{y}$

${𝒃}_3=\frac{2\pi }{a}\hat{z}$

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 $\frac{2\pi }{a}$。

面心立方晶體(FCC)

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

${𝒂}_1=\frac{a}{2}(\hat{y}+\hat{z})$

${𝒂}_2=\frac{a}{2}(\hat{z}+\hat{x})$

${𝒂}_3=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y})$

體積為

${𝒂}_1\cdot {𝒂}_2\times {𝒂}_3=\frac{a^3}{4}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${𝒃}_1=\frac{2\pi }{a}(-\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})$

${𝒃}_2=\frac{2\pi }{a}(+\hat{x}-\hat{y}+\hat{z})$

${𝒃}_3=\frac{2\pi }{a}(+\hat{x}+\hat{y}-\hat{z})$

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

體心立方晶體(BCC)

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

${𝒂}_1=\frac{a}{2}(-\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})$

${𝒂}_2=\frac{a}{2}(+\hat{x}-\hat{y}+\hat{z})$

${𝒂}_3=\frac{a}{2}(+\hat{x}+\hat{y}-\hat{z})$

體積為

${𝒂}_1\cdot {𝒂}_2\times {𝒂}_3=\frac{a^3}{2}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${𝒃}_1=\frac{2\pi }{a}(\hat{y}+\hat{z})$

${𝒃}_2=\frac{2\pi }{a}(\hat{z}+\hat{x})$

${𝒃}_3=\frac{2\pi }{a}(\hat{x}+\hat{y})$

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的$({𝒂}_1,{𝒂}_2,{𝒂}_3)$ (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸$({𝒃}_1,{𝒃}_2,{𝒃}_3)$與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

参阅

• 晶体学
• 对偶空间
• 电子衍射
• 埃瓦尔德球（Template:Lang-en）
• 密勒指数（Template:Lang-en）
• 布里渊区

外部連結

• Template:En-{R|http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html}- Template:Wayback - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• Template:EnDoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal LatticeTemplate:Wayback

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