倒向随机微分方程

倒向随机微分方程（BSDE）是带有终点条件的随机微分方程，其解要根据底层滤波进行调整。BSDE自然地出现在各种应用中，如随机控制、金融数学与非线性费曼-卡茨公式。

背景

1973年让-米歇尔·比斯姆提出了BSDE线性情形，1990年法国学者Template:Link-en和中国学者彭实戈合作发表的论文中提出BSDE非线性情形，线性是广泛的非线性中的一特殊形式。

数学框架

固定终点时刻$T>0$与概率空间$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$。令$(B_t{)}_{t\in [0,T]}$为布朗运动，其自然滤波$({ℱ}_t{)}_{t\in [0,T]}$。BSDE是积分方程，其类型为

其中$f:[0,T]\times ℝ\times ℝ\to ℝ$称作BSDE的生成器，终点条件$\xi$是${ℱ}_T$-可测随机变量，解$(Y_t,Z_t{)}_{t\in [0,T]}$包含随机过程$(Y_t{)}_{t\in [0,T]}$、$(Z_t{)}_{t\in [0,T]}$，其适应于过滤$({ℱ}_t{)}_{t\in [0,T]}$。

例子

在$f\equiv 0$情形下，BSDE (Template:EquationNote)简化为

若$\xi \in L^2(\mathrm{\Omega },\mathbb{P})$，则根据鞅表示定理，存在唯一的随机过程$(Z_t{)}_{t\in [0,T]}$使$Y_t=𝔼[\xi |{ℱ}_t]$、$Z_t$满足BSDE (Template:EquationNote)。

另见

• 鞅表示定理
• 随机控制
• 随机微分方程

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