信賴區間

Template:Expand English Template:NoteTA 在统计学中，一个概率样本的置信区间（Template:Lang-en，Template:Lang），是对产生这个样本的总体的参数分布（Template:Lang）中的某一个未知母數值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（Template:Lang）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合（Template:Lang）概念是置信区间在多维分析的推广。

置信区间在频率学派中间使用，其在贝叶斯统计中的对应概念是Template:Tsl（Template:Lang）。两者建立在不同的概念基础上的，贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量，并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述，故无论对随机样本还是已观测数据，构造出来的可信区间，其可信水平都是一个合法的概率；而置信区间的置信水平，只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。

定义

对随机样本的定义

定义置信区间最清晰的方式是从一个随机样本出发。考虑一个一维随机变量$𝒳$服从分布$ℱ$，又假设$\theta$是$ℱ$的参数之一。假设我们的数据采集计划将要独立地抽样$n$次，得到一个随机样本$\{X_1,\dots ,X_n\}$，注意这里所有的$X_i$都是随机的，我们是在讨论一个尚未被观测的数据集。如果存在统计量（统计量定义为样本$X=\{X_1,\dots ,X_n\}$的一个函数，且不得依赖于任何未知参数）$u(X_1,\dots ,X_n),v(X_1,\dots ,X_n)$满足$u(X_1,\dots ,X_n)<v(X_1,\dots ,X_n)$使得：

$\mathbb{P}(\theta \in (u(X_1,\dots ,X_n),v(X_1,\dots ,X_n)))=1-\alpha$

则称$(u(X_1,\dots ,X_n),v(X_1,\dots ,X_n))$为一个用于估计参数$\theta$的$1-\alpha$置信区间，其中的，$1-\alpha$称为置信水平，$\alpha$在假设检验中也称为显著性水平。

对观测到的数据的定义

接续随机样本版本的定义，现在，对于随机变量$𝒳$的一个已经观测到的样本$\{x_1,\dots ,x_n\}$，注意这里用小写x表记的$x_i$都是已经观测到的数字，没有随机性了，定义基于数据的$1-\alpha$置信区间为：

$(u(x_1,\dots ,x_n),v(x_1,\dots ,x_n))$

注意，置信区间可以是单尾或者双尾的，单尾的置信区间中设定$u=-\mathrm{\infty }$或者$v=+\mathrm{\infty }$，具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。

初学者常犯一个概念性错误，是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平，误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是：置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程（或称方法）的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间，其两个端点已经不再具有随机性，因此，类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知参数的真实值的概率是0或者1，但我们不能知道是前者还是后者。

例子

例1：正态分布，已知总体方差${\sigma }^2$

$1-\alpha$水平的正态置信区间为：

$(\overline{x}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$ (双尾)

$(-\mathrm{\infty },\overline{x}+z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$ (单尾)

$(\overline{x}-z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},+\mathrm{\infty })$ (单尾)

以下为方便起见，只列出双尾置信区间的例子，且区间中用"$\pm$"进行简记：

例2：正态分布，未知总体方差${\sigma }^2$

$1-\alpha$水平的双尾正态置信区间为：

$(\overline{x}\pm t_{n-1;\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}})$

例3：两个独立正态样本

設有兩個獨立正態樣本$x$和$y$，样本大小为$m$和$n$，估计总体均值之差${\mu }_1-{\mu }_2$，假设总体方差未知但相等：${\sigma }_1={\sigma }_2$(如果未知且不等就要应用Template:Tsl来确定t分布的自由度) $1-\alpha$水平的双尾正态置信区间为：

$(\overline{x}-\overline{y}\pm t_{m+n-2;\alpha /2}\cdot s_p\cdot \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}})$，其中$s_p=\sqrt{\frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2}}$且$s_x,s_y$分别表示$x$和$y$的样本标准差。

常見誤解

從常態分佈產生的50個樣本中得出的50個信賴區間

信賴區間及信心水準常被誤解，出版的研究也顯示出既使是專業的科學家也常做出錯誤的詮釋。

• 以95%的信賴區間來說，建構出一個信賴區間，不代表分佈的參數有95%的機率會落在該信賴區間內（也就是說該區間有95%的機率涵蓋了分佈參數）。 依照嚴格的頻率學派詮釋，一旦信賴區間被建構完全，此區間不是涵蓋了參數就是沒涵蓋參數，已經沒有機率可言。95%機率指的是建構信賴區間步驟的可靠性，不是針對一個特定的區間。內曼本人（信賴區間的原始提倡者）在他的原始論文提出此點：

  「在上面的敘述中可以注意到，機率是指統計學家在未來關心的估計問題。事實上，我已多次說明，正確結果的頻率會趨向於α。考慮到一個樣本已被抽取，[特定端點]也已被計算完成。我們能說在這個特定的例子裡真值[落到端點中]的機率等於α嗎？答案明顯是否定的。參數是未知的常數，無法做出對其值的機率敘述……」

Deborah Mayo針對此點進一步說道：

「無論如何必須強調，在看到[資料的]數值後，Neyman–Pearson理論從不允許做出以下結論，特定產生的信賴區間涵蓋了真值的機率或信心為(1 − α)100%。Seidenfeld的評論似乎源於一種（並非不尋常的）期望，Neyman–Pearson信賴區間能提供他們無法合理提供的，也就是未知參數落入特定區間的機率大小、信心高低或支持程度的測度。隨著Savage (1962)之後，參數落入特定區間的機率可能是指最終精密度的測度。最終精密度的測度令人嚮往而且信賴區間又常被(錯誤地)解釋成可提供此測度，然而此解釋是不被保證的。無可否認的，『信賴』二字助長了此誤解。」

• 95%信賴區間不代表有95%的樣本資料落在此信賴區間。
• 信賴區間不是樣本參數的可能值的確定範圍，雖然它常被啟發為可能值的範圍。
• 從一個實驗中算出的一個95%信賴區間，不代表從不同實驗得到的樣本參數有95%落在該區間中

构造法

一般来说，置信区间的构造需要先找到一个枢轴变量（Template:Lang，或称Template:Lang），其表达式依赖于样本以及待估计的未知参数(但不能依赖于总体的其它未知参数)，其分布不依赖于任何未知参数。

下面以上述例2为例，说明如何利用枢轴变量构造置信区间。对于一个正态分布的随机样本$X_1,\dots ,X_n$，可以证明(此证明对初学者并不容易)如下统计量互相独立：

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 和 $S^2=\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2}{n-1}$

它们的分布是：

$\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 和 $(n-1)\frac{S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$

所以根据t分布的定义，有

$t=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$

于是反解如下等式左边括号中的不等式

$\mathbb{P}(-t_{n-1;\alpha /2}<t=\frac{\overline{X}-\mu }{S\sqrt{n}}<t_{n-1;\alpha /2})=1-\alpha$

就得到了例2中双尾置信区间的表达式。

与参数检验的联系

有时，置信区间可以用来进行母數检验。例如在上面的例1中构造的双尾$1-\alpha$水平置信区间，可以用来检验具有相应的显著水平为$\alpha$的双尾對立假說，具体地说是如下检验： 正态分布总体，知道总体方差${\sigma }^2$，在$\alpha$显著水平下检验：

$H_0:\mu ={\mu }_0$ vs $H_1:\mu \ne {\mu }_0$

检验方法是：当（且仅当）相应的$1-\alpha$水平置信区间不包含${\mu }_0$时拒绝零假设$H_0$

例1中构造的双尾$1-\alpha$水平置信区间也可以用来检验如下两个显著水平为$\alpha /2$的单尾对立假设：

$H_0:\mu \le {\mu }_0$ vs $H_1:\mu >{\mu }_0$

和

$H_0:\mu \ge {\mu }_0$ vs $H_1:\mu <{\mu }_0$

检验方法是完全类似的，比如对于上述第一个单尾检验$H_1:\mu >{\mu }_0$，当且仅当双尾置信区间的左端点大于${\mu }_0$时拒绝零假设。

参考书目

• 羅納德·費雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
• 弗罗因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
• 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
• 齐平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
• 杰克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
• 泽西·内曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
• G.K.罗宾逊 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.