休恩函数

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Template:Cleanup-jargon Heun函数指HeunB、HeunC、HeunD、HeunG、HeunT等五个函数


HeunG 函数

HeunG function

HeunG函数是下列GeneralHeun方程的解

d2wdz2+[γz+δz−1+ϵz−a]dwdz+αβz−qz(z−1)(z−a)w=0.

奇点

HeunG(a, b, \alpha, \beta, \gamma, \delta, z)函数有6个参数，有四个奇点

展开式

HeunG(a,b,α,β,γ,δ,z)=b*z/(γ*a)−(1/2)*(−b−b*a*δ−b*γ*a+b*δ−b*α−b*β−b2+α*β*γ*a)*z2/(γ*a2*(γ+1))+O(z3)

关系式

HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=(1−z)(1−δ)*HeunG(a,q−(−1+δ)*γ*a,β−δ+1,α−δ+1,γ,2−δ,z)
[HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=(1−z/a)(−α−β+γ+δ)*HeunG(a,q−γ*(α+β−γ−δ),−β+γ+δ,−α+γ+δ,γ,δ,z),And(a<>0)]
[HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=(1−z)(1−δ)*(1−z/a)(−α−β+γ+δ)*HeunG(a,q−γ*((−1+δ)*a+α+β−γ−δ),−β+γ+1,−α+γ+1,γ,2−δ,z),And(a<>0)]
[HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=HeunG(1/a,q/a,α,β,γ,α+β−γ−δ+1,z/a),And(a<>0)]
[HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=(1−z)(−α)*HeunG(a/(−1+a),(−q+γ*α*a)/(−1+a),α,α−δ+1,γ,α−β+1,z/(z−1)),And(a<>1,z<>1)]

超几何函数关系

[HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=hypergeom([α,β],[α+β−δ+1],z),And(a=0,q=0)]
[HeunG(a,q,α,β,γ,δ,z)=hypergeom([α,β],[γ],z)(And(a=1,q=α*β),And(q=α*β*a,δ=α+β−γ+1))]

HeunB函数

HeunB

HeunB(a,b,c,d,z)是下列双合流方程的解 yzz−(α+2*z+z2*α−2*z3)(z+1)2/(z−1)2*yz+(δ+(2*α+γ)*z+β*z2)(z−1)3/(z+1)3*y(z);

HeunC函数

HeunC

HeunC(a,b,c,d,z)是下列微分方程的解 yzz−(−z2*a+(−2−b−c+a)*z+b+1)*yz)(z*(z−1))−(1/2)*(((−b−c−2)*a−2*d)*z+(b+1)*a+(−c−1)*b−c−2*e)*y(z*(z−1))

关系式

[HeunC(a,b,c,d,e,z)=(1−z)(−c)*HeunC(a,b,−c,d,e,z),And(b::(Not(integer)),abs(z)<1)]
[HeunC(a,b,c,d,e,z)=exp(−z*a)*HeunC(−a,b,c,d,e,z),And(b::(Not(integer)),abs(z)<1)]

HeunD函数

HeunD

HeunD(a,b,c,d,z)函数是下列微分方程的解 yzz−(−2*z5+4*z3+z4*a−2*z−a)*yz)((z−1)3*(z+1)3)−(−z2*b+(−c−2*a)*z−d)*y((z−1)3*(z+1)3)

关系式

[HeunD(a,b,c,d,z)=HeunD(−a,−d,−c,−b,1/z)]

HeunT函数

HeunT

HeunT(a,b,c,z)函数是下列微分方程的解

yzz−(3*z2+c)*yz−((3−b)*z−a)*y

关系式

[HeunT(a,b,c,z)=HeunT(j*a,b,j2*c,j*z),And(j3=1)] [HeunT(a,b,c,z)=HeunT(a,−b,c,−z)*exp(z3),And(c=0)]

参考文献

检索自“https://zh.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=休恩函数&oldid=8957”