交叉項

Template:NoteTA Template:Otheruses 在線性代數中，若二次型（quadratic form）中的項並非平方項，也就是說包含超過一個變數，這個項被稱為交叉項（cross-term）。

在信号处理領域中，交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素（信號），與之相對的則是自身項（auto-term），自身項中只包含一個元素。

通常在進行時頻分析時，我們都會希望盡量避免交叉項的產生，因為交叉項會使得多個訊號疊加的時頻分布的圖形變得難以解讀，不同訊號之間也會難以分離。

線性代數中的交叉項

令 $x,y\in {ℝ}^n$ ， $n$ 是自然數 ，假設我們要展開 $(x+y{)}^T(x+y)$ ，則經過計算可以得到：

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^T(x+y)& =x^{T}x+y^{T}x+x^{T}y+y^{T}y\\ & =||x|{|}^2+2(x\cdot y)+||y|{|}^2\end{array}$

其中 $||x|{|}^2$ 和 $||y|{|}^2$ 都屬於自身項，因為它們分別只包含了一個變數；$2(x\cdot y)$ 則是交叉項，因為它包含了 $x$ 和 $y$ 兩個元素。

韋格納分布中的交叉項

韋格納分布的定義如下：

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\frac{\tau }{2})x^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

其中 $x$ 代表原始訊號、$t$ 是轉換後的時間軸座標、$f$ 是轉換後的頻率軸座標。若我們設 $x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)$，並將韋格納分布的公式展開如下：

$\begin{array}{cc}{W}_x(t,f)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\frac{\tau }{2})x^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\alpha g(t+\frac{\tau }{2})+\beta s(t+\frac{\tau }{2})][{\alpha }^{*}{g}^{*}(t-\frac{\tau }{2})+{\beta }^{*}{s}^{*}(t-\frac{\tau }{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[|\alpha {|}^{2}g(t+\frac{\tau }{2})g^{*}(t-\frac{\tau }{2})+|\beta {|}^{2}s(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})\\ & +\alpha {\beta }^{*}g(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})+{\alpha }^{*}\beta g^{*}(t-\frac{\tau }{2})s(t+\frac{\tau }{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\ & =|\alpha {|}^2{W}_g(t,f)+|\beta {|}^2{W}_s(t,f)\\ & +\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\alpha {\beta }^{*}g(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})+{\alpha }^{*}\beta g^{*}(t-\frac{\tau }{2})s(t+\frac{\tau }{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\ \end{array}$

其中 $W_g$ 和 $W_s$ 就是自身項，剩下的積分項就是交叉項。

參見

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.