五角六十面體

Template:NoteTA Template:Infobox polyhedron 在幾何學中，五角六十面體是一種卡塔蘭立體，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。五角六十面體有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或“對映體”），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体。

性質

五角六十面體是一個Template:Link-en，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。Template:Rp

五角六十面體的旋轉透視圖

五角六十面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

構造

五角六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。

二面角

五角六十面體只有一種二面角，約為153.18度：

$\arccos (-\frac{2(x+\frac{2}{x})(1+15\phi )+(15+16\phi )}{209})\approx$2.67347322717678$\approx$153.178732558°

其中$\phi$為黃金比例、$x$為$\sqrt[3]{\frac{\phi +\sqrt{\phi -\frac{5}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\phi -\sqrt{\phi -\frac{5}{27}}}{2}}$

面的組成

五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令$x$為$\sqrt[3]{\frac{\phi +\sqrt{\phi -\frac{5}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\phi -\sqrt{\phi -\frac{5}{27}}}{2}}$，則短邊與長邊的比為：

$\frac{1}{x}:\frac{x(2+7\phi )+(5\phi -3)+\frac{2(8-3\phi )}{x}}{31}\approx$0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$為黃金比例。

若令$\xi \approx 0.94315125924$為多項式$x^3+2x^2-{\phi }^2$的根，則長邊與短邊的比值$l$為：

$l=\frac{1+\xi }{2-{\xi }^2}\approx 1.74985256674$.

也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為$\arccos (-\xi /2)\approx 118.13662275862^{\circ }$，約118度8分Template:Rp，而反餘弦內的值是多項式$64x^6-128x^5+64x^4+24x^3-24x^2+1$的第一個實根；銳角的角度為$\arccos (-{\phi }^2\xi /2+\phi )\approx 67.45350896551^{\circ }$，約67度28分Template:Rp，而反餘弦內的值是多項式$64x^6-384x^5+384x^4+888x^3+168x^2-128x-31$的第4個根。

幾何

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：

$\frac{\sqrt{3(x\phi +1+\phi +\frac{1}{x})}}{2}\approx$2.1172098986

十二個五階頂點所在的球面之半徑為：

$\frac{\sqrt{x^2(1009+1067\phi )+x(1168+2259\phi )+(1097+941\phi )}}{62}\approx$2.220000699

體積與表面積

若要計算五角六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為$b$，並令常數$t$為：

$t=\frac{\sqrt[3]{44+12\phi (9+\sqrt{81\phi -15})}+\sqrt[3]{44+12\phi (9-\sqrt{81\phi -15})}-4}{12}\approx 0.471575629622$ .

則短邊長為$b$的五角六十面體表面積（Template:Math）為：

$A=\frac{30b^2\cdot (2+3t)\cdot \sqrt{1-t^2}}{1-2t^2}\approx 162.698964198b^2$.

體積（Template:Math）為：

$V=\frac{5b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\cdot \sqrt{1-2t}}\approx 189.789852067b^3$.

使用以上這些數值，可以計算此形狀的Template:Link-en量值：

$\mathrm{\Psi }=\frac{{\pi }^{\frac{1}{3}}(6V{)}^{\frac{2}{3}}}{A}\approx 0.98163$

用途

五角六十面體的骰子

由於五角六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。

參見

• 卡塔蘭立體
• 對偶多面體

參考文獻

• Template:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book) (Section 3-9)
• Template:Citation (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

外部連結

• Template:Mathworld2