互易定理

Template:NoteTA 在电磁学中，互易定理是电磁场理论的重要定理。由洛伦兹首先发现了一个定义在闭合曲面上的电磁场公式。后来Rayleigh-Carson又进一步把定理发展称为我们今天看到的形式，定义在一个体积分上。

互易定理的陈述

洛伦兹的贡献

假定有电磁场$[{𝐄}_1,{𝐇}_1]$ 和电磁场$[{𝐄}_2,{𝐇}_2]$ 都是由曲面内的电流元产生的辐射场。这里假定计算是在频域或者傅里叶变换域。我们在电磁场公式中省写了$\omega$。

洛伦兹发现如下形式的互易定理

$\text{∯}$$\partial V$$({𝐄}_1\times {𝐇}_2-{𝐄}_2\times {𝐇}_1)\cdot d𝐀=0$

注意：上面强调两个电磁场都是辐射场，其实是说这两个场都必须是滞后波。如果其中一个是超前波，一个是滞后波上述曲面积分不为零。

Rayleigh-Carson的贡献

假设$[{𝐄}_1,{𝐇}_1]$的电流元为：${𝐉}_1$ 假设$[{𝐄}_2,{𝐇}_2]$的电流元为：${𝐉}_2$

Rayleigh-Carson的贡献为 ，

$\underset{V1}{\int }({𝐄}_2\cdot {𝐉}_1)dV=\underset{V2}{\int }({𝐄}_1\cdot {𝐉}_2)dV$

电路中的互易定理

上面公式反映在电路理论中就为，

${𝐕}_2\cdot {𝐈}_1={𝐕}_1\cdot {𝐈}_2$

其中 ${𝐕}_2$ 是电流 ${𝐈}_2$在电流${𝐈}_1$ 处产生的电动势。 测量${𝐕}_2$ 时可将电流元${𝐈}_1$处电路开路。 ${𝐕}_1$ 是电流 ${𝐈}_1$在电流${𝐈}_2$ 处产生的电动势。 测量${𝐕}_1$ 时可将电流元${𝐈}_2$处电路开路。

互易定理的一般形式

今天我们把如下一般形式的互易定量称为洛伦兹互易定理，

$\text{∯}$$\partial V$$({𝐄}_1\times {𝐇}_2-{𝐄}_2\times {𝐇}_1)\cdot d𝐀$

$=\underset{V}{\int }(-{𝐄}_1\cdot {𝐉}_2+{𝐄}_2\cdot {𝐉}_1)dVdt$

在上述一般形式互易定理中考虑洛伦兹的贡献即可得到Rayleigh-Carson的贡献的贡献。互易定理的一般形式也常常被称为洛伦兹互易定理。

互易定理的推导

由麦克斯韦方程可直接推导互易定理。但是因为这样的推导比较繁琐，也不能体现电磁场定理之间的关系。此处用另一种思路来推导互易定理。 从麦克斯韦方程出发可以推导坡印廷定理,坡印廷定理可以推导互能定理。麦克斯韦方程可以推导共轭变化，互能定理同共轭变换可以推导洛伦兹互易定理。

电磁场共轭变换

电磁场共轭变换 $𝐑$ 在时域定义如下 （Template:Lang）：

$𝐑[𝐄(t),𝐇(t),𝐉(t),𝐊(t),ϵ(t),\mu (t)]=[𝐄(-t),-𝐇(-t),-𝐉(-t),𝐊(-t),ϵ(-t),\mu (-t)]$

在频域定义如下， $𝐑[𝐄(\omega ),𝐇(\omega ),𝐉(\omega ),𝐊(\omega ),ϵ(\omega ),\mu (\omega )]=[{𝐄}^{*}(\omega ),-{𝐇}^{*}(\omega ),-{𝐉}^{*}(\omega )(\omega ),{𝐊}^{*}(\omega ),{ϵ}^{*}(\omega ),{\mu }^{*}(\omega )]$

其中 $𝐊$ 为磁流密度。 共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。一个电磁场在共轭变换前满足麦克斯韦方程，则变换后仍满足麦克斯韦方程。共轭变换把滞后波变成超前波，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。

互易定理同互能定理的关系

对互能定理两个电磁场之一，比如 ${𝐄}_2,{𝐇}_2$ 作共轭变换可得洛伦兹互易定理。 反之， 对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如 ${𝐄}_2,{𝐇}_2$ 作共轭变换可得互能定理。尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。

由此我们完成了麦克斯韦方程 到 坡印廷定理 到 互能定理 到 洛伦兹互易定理的证明。

参见

• 经典电磁学

参考文献

來源

• H. A. Lorentz, "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light,"Template:Dead link Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
• J. R. Carson, "A generalization of reciprocal theorem," Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid. 9 (4), 325-331 (1930).