不可約元素

不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整环中一個非零、非单位的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

不可約元素和質元素的關係

不可約元素和質元素不同，交换环 $R$ 內的非零、非单位元素 $a$ 為質元素，表示若在交換環 $R$ 內存在 $b$ 及 $c$ ，使得 $a | b c$ ，則 $a | b$ 或 $a | c$ 必定有一個成立。

在整环中，每一個質元素都是不可約元素^[1]^[2]，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的理想為素理想，但由不可約元素產生的理想一般不會是Template:Le。不過，若 $D$ 為GCD環，且 $x$ 為 $D$ 環中的不可約元素，則產生的理想會是素理想^[3]。

在Template:Le $𝐙 [\sqrt{- 5}]$ 中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為

3 ∣ (2 + \sqrt{- 5}) (2 - \sqrt{- 5}) = 9,

但 $3$ 無法整除 $2 + \sqrt{- 5}$ ，也無法整除 $2 - \sqrt{- 5}$ 。^[4]

↑ 考慮 $p$ 為一個可約的質元素： $p = a b .$ ，則 $p | a b \Rightarrow p | a$ 或 $p | b$ 。假如 $p | a \Rightarrow a = p c,$ 則可得 $p = a b = p c b \Rightarrow p (1 - c b) = 0 .$ 。因為 $R$ 為整環，因此可得 $c b = 1 .$ 。因此 $b$ 為單位元素，而 $p$ 是不可約元素。
↑ Sharpe (1987) p.54
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