三立方数和

整数x、y与z满足Template:Nowrap的半对数图线，其中Template:Nowrap。绿色条带代表已证明无解的整数。

三立方数和问题（Template:Lang-en）是指丢番图方程$x^3+y^3+z^3=n$是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。

小整数例

$n=0$时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理Template:R，在$n=0$时的三立方和只有如下平凡解：

$a^3+(-a{)}^3+0^3=0.$

$n=1,2$时，存在如下解系，有无数解：

$(9b^4{)}^3+(3b-9b^4{)}^3+(1-9b^3{)}^3=1$

以及，

$(1+6c^3{)}^3+(1-6c^3{)}^3+(-6c^2{)}^3=2.$

上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和Template:R。除上述表示外，$n=1$也有其他三立方和解系Template:R，$n=2$有如下著名解Template:R：

$1214928^3+3480205^3+(-3528875{)}^3=2,$

$37404275617^3+(-25282289375{)}^3+(-33071554596{)}^3=2,$

$3737830626090^3+1490220318001^3+(-3815176160999{)}^3=2.$

然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示Template:R。即便在$n=3$处，也没有参数化解系。Template:Le在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：

$1^3+1^3+1^3=4^3+4^3+(-5{)}^3=3$

“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余Template:R。2019年9月前，上述两式曾經是$n=3$長期以來仅有的2組已知解Template:R，但就在同一月，發現了第3組解：

$569936821221962380720^3+(-569936821113563493509{)}^3+(-472715493453327032{)}^3=3$

计算结果

1955年起，莫德尔（Template:Lang）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。Template:R对于1000以内的正整数$n$，埃尔森汉斯（Template:Lang）与雅内尔（Template:Lang）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法Template:R找到了$\max (|x|,|y|,|z|)<10^{14}$范围内的所有解。2016年，于斯曼（Template:Lang）使用同样的方法将搜索上界提升至$\max (|x|,|y|,|z|)<10^{15}$。到此时为止，$n<100$的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的$n$都找到了至少一组整数解。Template:R

2019年，Template:Link-en采用一种新方法发现了$n=33$的一组解：Template:R

$33=8866128975287528^3+(-8778405442862239{)}^3+(-2736111468807040{)}^3$

此时，他在$\min (|x|,|y|,|z|)<10^{16}$的范围里尚没有找到$n=42$的解。Template:R

随后在2019年9月，布克和Template:Link-en最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来Template:NoteTag：

$42=(-80538738812075974{)}^3+80435758145817515^3+12602123297335631^3$

这个解的获得在Charity Engine全球网络（Template:Lang）上耗费了130万机时。

至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解。Template:As of，未能求解最小整数是$n=114$Template:R，如果有解的話，$(|x|,|y|,|z|)$至少有一數大於100000000000。

在2021年1月初，又解決了579：

$579=143075750505019222645^3+(-143070303858622169975{)}^3+(-6941531883806363291{)}^3$

至此，仅剩的未解決的在1000以內的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。