三側錐六角柱

Template:NoteTA Template:Infobox polyhedron 在几何学中，三側錐六角柱是一種十七面體，可以視為在六角柱的3個側面上疊上四角錐所構成的立體。三側錐六角柱在維持所有面都是正多邊形面的條件下，是在詹森多面體中，所有凸側錐柱體中，底面邊數最多、側錐數最多的立體，其最大的內角約為174.7度，非常接近平角，但非平角，因此三側錐六角柱是一種詹森多面體，詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由Template:Tsl（Norman Johnson）命名並給予描述^[1]。 Template:Tsl在發現這些立體時，給予三側錐六角柱編號J₅₇^[1]。

性質

三側錐六角柱共由17個面、30條邊和15個頂點組成^[3]，在其17個面中，有12個正三角形面、3個正方形面和2個正六邊形面^[3]。其對稱群為三倍的柱體形式的二面體群對稱性D_3h群^[4]。

体积与表面积

棱长为a的三側錐六角柱的表面积（A）和体积（V）為：^[3]

$A = (3 + 6 \sqrt{3}) a^{2}$

$V = \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}{2} a^{3}$

頂點座標

對於一個邊長為2且幾何中心位於原點的三側錐六角柱，其頂點座標為：^[5]

(\pm 1, \pm \sqrt{3}, \pm 1),

(\pm 2, 0, \pm 1),

(\pm \frac{3 + \sqrt{6}}{2}, \frac{3 + \sqrt{6}}{2 \sqrt{3}}, 0),

(0, - \frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3}}, 0) .

二面角

三側錐六角柱有四種二面角，分別為三角形與正方形的二面角，位於側錐側面與六角柱側面的交角、還有三角形與六邊形的二面角，位於側錐側面與六角柱底面的交角、還有三角形與三角形的二面角，位於側錐側面與側錐側面的交角、以及正方形和六邊形的二面角，位於六角柱側面與六角柱底面的交角。其中以三角形與正方形的二面角為最大，約174.7度，非常接近平角。^[6]與其他幾種側錐六角柱不同，三側錐六角柱沒有六角柱側面與六角柱側面的交角，因為三側錐六角柱的側錐的位置皆相隔了一個側面，因此六角柱側面的相鄰面只剩下六角柱的底面和側錐的側面。

其中，正方形和六邊形的二面角（六角柱側面與六角柱底面的交角）為直角。^[6]

∠

正方形

,

六邊形

= 9 0^{\circ}

三角形與正方形的二面角（側錐側面與六角柱側面的交角）約為174.7356度：^[6]

∠

三角形

,

正方形

= \arccos (- \frac{1 + \sqrt{6}}{\sqrt{12}}) \approx 3.04971172 \approx 174.7356102 9^{\circ}

三角形與六邊形的二面角（側錐側面與六角柱底面的交角）約為144.7356度：^[6]

∠

三角形

,

六邊形

= \arccos (- \sqrt{\frac{2}{3}}) \approx 2.52611294 \approx 144.7356100 4^{\circ}

三角形與三角形的二面角（側錐側面與側錐側面的交角）約為109.47度：^[6]

∠

三角形

,

三角形

= \arccos (- \frac{1}{3}) \approx 1.91063324 \approx 109.4712208 5^{\circ}

變體

三側錐六角柱共有三種型態，一種是三個側錐都不彼此相鄰；另一種是三個側錐彼此相鄰；還有一種是兩個側錐彼此相鄰，另一個側錐與前者不彼此相鄰。僅有第一種屬於詹森多面體。第三種有兩種手性鏡像。目前學術界僅稱第一種為三側錐六角柱，後兩種名稱尚未有共識，即未有被廣泛接受的名稱。一般都通稱為三側錐六角柱。然而術語「三側錐六角柱」通常只第一種三個側錐都不彼此相鄰的立體，即屬於詹森多面體的那一種。