三乘积法则

三乘积法则（triple product rule）是关于偏导数的一个恒等关系式，其表达式为：

${\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_x{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y=-1.$

注释：每一个变量可视作另外两个变量的函数。偏导数的下标表示在此变量为常数的条件下求导。

三乘积法则用于热力学关系式的推导。例如温度、压力和体积之间的关系满足：

${\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_p=-1.$

利用三乘积法则，可以将不易测量的关系用容易测得的物理量代替，如：

${\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z=-\frac{{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_x}{{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y}$。

推导

下面给出一个非正式的推导。设有函数f(x, y, z) = 0。若将z表示为x和y的函数，则全微分dz等于

$dz={\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_{y}dx+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_{x}dy$

在dz = 0的轨迹上，x和y之间满足

$dy={\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_{z}dx$

于是将dz = 0带入上式，

$0={\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_{y}dx+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_x{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_{z}dx$

重排得

${\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y=-{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_x{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_z$

将所有偏导数移到等式左边，

${\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_x{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y=-1$

此证明假定了偏导数存在，以及全微分dz存在，偏导数不为零从而能取倒数。数学分析的正式证明能避免这些隐含假定。

参见

• 全微分
• 变量和标量的三重积

参考资料

• Elliott, JR, and Lira, CT. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999. p. 184.
• Carter, Ashley H. Classical and Statistical Thermodynamics, Prentice Hall, 2001, p. 392.