一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程，其型式如下

F (x_{1}, \dots, x_{n}, u, u_{x_{1}}, \dots u_{x_{n}}) = 0 .

以下的應用會用到一阶偏微分方程：建構双曲型偏微分方程的特徵曲面、变分法、一些幾何問題，以及一些解有用到特征线法的氣體動力學簡單模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。

通解及全積分

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一阶偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分（complete integral）。以下有n個參數的解族

u = ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

若滿足 $det | ϕ_{x_{i} a_{j}} | \neq 0$ 的條件，即為全積分^[1]。

波方程本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面

u_{t}^{2} = c^{2} (u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2}) .

若令 $u_{t} = 1$ ，對一般性的影響不大，此時u滿足

u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2} = \frac{1}{c^{2}} .

用方量的表示方式，令

\vec{x} = (x, y, z) and \vec{p} = (u_{x}, u_{y}, u_{z}) .

解族的特徵曲面可以表示為

u (\vec{x}) = \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{x_{0}}),

其中

| \vec{p} | = \frac{1}{c}, and \vec{x_{0}} is arbitrary .

若x和x₀不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/c圓球上的點，且u值為定值的點來求得。若 $\vec{p}$ 平行 $\vec{x} - \vec{x_{0}}$ ，此條件會成立。因此，包絡線為

u (\vec{x}) = \pm \frac{1}{c} | \vec{x} - \vec{x_{0}} | .

這個解對應一個半徑會以速度c膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。

此方程的初值問題會包括給定t=0 時，u=0 的等值曲面S。這可以由找到所有中心在S上，半徑以速度c膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得

\frac{1}{c} | \vec{x} - \vec{x_{0}} | is stationary for \vec{x_{0}} \in S .

若 $| \vec{x} - \vec{x_{0}} |$ 和S垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和S垂直，速度為c的運動，這也就是Huygens波前建立法：S上的每一點在t=0時發射一個球狀波，較晚時間t的波前就是這些球狀波的包絡線。S的法向量即為光線。

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