希爾微分方程

Template:Expert 希爾微分方程或是希爾方程是指以下的二階常微分方程

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+f(t)y=0,$

其中f(t)為週期函數

希爾微分方程得名自1886年發現此方程的天文學家喬治·希爾

一般會假設f(t)的週期為π，則希爾方程可以改寫為f(t)的傅里叶级数：

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+({\theta }_0+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_n\cos (2nt)+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_m\sin (2mt))y=0.$

希爾方程中特殊的例子有马丢方程（只對應n = 0, 1的情形）以及Template:Le。

在研究週期微分方程時，希爾微分方程是重要的範例。依照f(t)的不同，其解可能一直是有界的，也有可能其振盪的振幅會指數成長。Hill微分方程的準確解可以由弗洛凱理論描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希爾微分方程最早是應用在月球穩定性的研究，不過後來也用在許多其他的領域，包括Template:Le的建模，像是晶體中電子的一維薛定谔方程等。

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