匹配渐近展开法

匹配渐近展开法（Template:Lang-en）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。

对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。

示例

考虑边值问题

$ϵy^{″}+(1+ϵ)y^{\prime }+y=0,$

其中$y$为时间$t$的函数，定义域从0到1，边界条件为$y(0)=0$与$y(1)=1$。$ϵ$是一个小参数，满足$0<ϵ\ll 1$。

外解（t = O(1)）

由$ϵ$十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取$ϵ=0$，有

$y^{\prime }+y=0.$

该方程的解为

$y=A{e}^{-t}$

其中$A$为常数。使用边界条件$y(0)=0$，有$A=0$。而如果使用另一个边界条件$y(1)=1$，则有$A=e$。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着$ϵ=0$的假设不能在整个定义域中都适用（即奇异摄动问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中$ϵ$与自变量$t$相比不能再忽略不计。这个边界层位于$t=0$一侧。于是我们使用另一个边界条件$y(1)=1$得到适用于边界层以外区域的外解$y_O=e^{1-t}$。

内解（t = O(ε））

在边界层之内，$t$与$ϵ$都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的O(1) 时间变量$\tau =t/ϵ$。于是原先的边值问题可以改写为

$\frac{1}{ϵ}{y}^{″}(\tau )+\left(1+ϵ\right)\frac{1}{ϵ}{y}^{\prime }(\tau )+y(\tau )=0,$

将两边同乘$ϵ$再取$ϵ=0$，得到

$y^{″}+y^{\prime }=0.$

该方程的解为

$y=B-C{e}^{-\tau }$

其中$B$与$C$为常数。使用边界层内的边界条件$y(0)=0$，得到$B=C$。故内解为

$y_I=B\left(1-e^{-\tau }\right)=B\left(1-e^{-t/ϵ}\right).$

匹配

由于对于中间大小的$t$（$ϵ\ll t\ll 1$）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即$\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_I=\underset{t\to 0}{\lim }{y}_O$。由此得到常数$B=e$。

合并

$ϵ$取不同值时的近似解

最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值$y_{\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{p}}$（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为$e$。故可以得到原边值问题的最终近似解为

$y(t)=y_I+y_O-y_{\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{p}}=e\left(1-e^{-t/ϵ}\right)+e^{1-t}-e=e\left(e^{-t}-e^{-t/ϵ}\right).$