示性函数 (凸分析)

在数学领域的凸分析中，集合的“示性函数”为凸函数，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规示性函数定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。

定义

假设 $A$ 为集合 $X$ 的子集。 $A$ 的 “示性函数”

${\chi }_A:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$

在擴展實數線上的值定义为

${\chi }_A(x):=\{\begin{array}{cc}0,& x\in A;\\ +\mathrm{\infty },& x\in ̸A.\end{array}$

与指示函数的关系

令 ${\mathrm{𝟏}}_A:X\to ℝ$ 为一般指示函数：

${\mathrm{𝟏}}_A(x):=\{\begin{array}{cc}1,& x\in A;\\ 0,& x\in ̸A.\end{array}$

若采用如下约定

• 对于任意$a\in ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$， $a+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ 以及 $a(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$；
• $\frac{1}{0}=+\mathrm{\infty }$；且
• $\frac{1}{+\mathrm{\infty }}=0$；

那么，指示函数与示性函数满足如下关系

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\frac{1}{1+{\chi }_A(x)}$

同时，

${\chi }_A(x)=(+\mathrm{\infty })(1-{\mathrm{𝟏}}_A(x)).$

参考文献

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