正规序

Template:NoteTATemplate:Cleanup-jargon 在量子场论中，一组創生及湮滅算符的乘积称為是按正规序排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

记号

令$\hat{O}$為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將$\hat{O}$按照正规序重新排列之后得到的算符用$𝒩(\hat{O})$ 或 $:\hat{O}:$表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

玻色子

玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

单个玻色子

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\hat{b}}^{†}$：玻色子的产生算符
• $\hat{b}$：玻色子的湮灭算符

则有：

${[{\hat{b}}^{†},{\hat{b}}^{†}]}_{-}=0$

${[\hat{b},\hat{b}]}_{-}=0$

${[\hat{b},{\hat{b}}^{†}]}_{-}=1$

其中 ${[A,B]}_{-}\equiv AB-BA$ 表示两个算符的对易子。

例子

1. 最简单的例子是 ${\hat{b}}^{†}\hat{b}$ 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以${\hat{b}}^{†}\hat{b}$的正规序就是它自身：

$:{\hat{b}}^{†}\hat{b}:={\hat{b}}^{†}\hat{b}.$

2. 第二个例子是 $\hat{b}{\hat{b}}^{†}$ 的正规序，

$:\hat{b}{\hat{b}}^{†}:={\hat{b}}^{†}\hat{b}.$

这里，按照正规序的要求，产生算符 ${\hat{b}}^{†}$ 放到了湮灭算符 $\hat{b}$的左边。由玻色子算符的对易关系有：

$\hat{b}{\hat{b}}^{†}-:\hat{b}{\hat{b}}^{†}:=1.$

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：

$:{\hat{b}}^{†}\hat{b}\hat{b}{\hat{b}}^{†}\hat{b}{\hat{b}}^{†}\hat{b}:={\hat{b}}^{†}{\hat{b}}^{†}{\hat{b}}^{†}\hat{b}\hat{b}\hat{b}\hat{b}=({\hat{b}}^{†}{)}^3{\hat{b}}^4.$

多个玻色子

对于 $N$ 个不同的玻色子来说，有 $2N$ 个算符：

• ${\hat{b}}_i^{†}$：第 $i$ 个玻色子的产生算符
• ${\hat{b}}_i$：第 $i$ 个玻色子的湮灭算符

其中 $i=1,\dots ,N$.

它们满足下列对易关系：

${[{\hat{b}}_i^{†},{\hat{b}}_j^{†}]}_{-}=0$

${[{\hat{b}}_i,{\hat{b}}_j]}_{-}=0$

${[{\hat{b}}_i,{\hat{b}}_j^{†}]}_{-}={\delta }_{ij}$

其中 $i,j=1,\dots ,N$，${\delta }_{ij}$ 是克罗内克函数。

例子

1.对于两个玻色子 ($N=2$) ，有：

$:{\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2$

$:{\hat{b}}_2{\hat{b}}_1^{†}:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2$

2. 对三个玻色子 ($N=3$) ，有：

$:{\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2{\hat{b}}_3:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2{\hat{b}}_3$

由于 ${\hat{b}}_2{\hat{b}}_3={\hat{b}}_3{\hat{b}}_2$ （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

费米子

费米子服从费米-狄拉克统计。

单个费米子

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\hat{f}}^{†}$：费米子的产生算符
• $\hat{f}$：费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系：

${[{\hat{f}}^{†},{\hat{f}}^{†}]}_{+}=0$

${[\hat{f},\hat{f}]}_{+}=0$

${[\hat{f},{\hat{f}}^{†}]}_{+}=1$

其中 ${[A,B]}_{+}\equiv AB+BA$ 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

例子

1. 最简单的例子是：

$:{\hat{f}}^{†}\hat{f}:={\hat{f}}^{†}\hat{f}$

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

$:\hat{f}{\hat{f}}^{†}:=-{\hat{f}}^{†}\hat{f}$

由费米子算符的反对易关系有：

$\hat{f}{\hat{f}}^{†}-:\hat{f}{\hat{f}}^{†}:=1.$

与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

$:\hat{f}{\hat{f}}^{†}\hat{f}{\hat{f}}^{†}:={\hat{f}}^{†}{\hat{f}}^{†}\hat{f}\hat{f}=0$

多个费米子

$N$ 个费米子有 $2N$ 个产生湮灭算符，设：

• ${\hat{f}}_i^{†}$为第 $i$ 个费米子的产生算符
• ${\hat{f}}_i$为第 $i$个费米子的湮灭算符

其中 $i=1,\dots ,N$.

它们满足下列反对易关系：

${[{\hat{f}}_i^{†},{\hat{f}}_j^{†}]}_{+}=0$

${[{\hat{f}}_i,{\hat{f}}_j]}_{+}=0$

${[{\hat{f}}_i,{\hat{f}}_j^{†}]}_{+}={\delta }_{ij}$

其中 $i,j=1,\dots ,N$， ${\delta }_{ij}$ 是克罗内克函数。

例子

1. 对两个费米子 ($N=2$) ，有：

$:{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2$

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

$:{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}:=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2$

由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

$:{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2^{†}:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2^{†}{\hat{f}}_2=-{\hat{f}}_2^{†}{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2$

与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 ($N=3$) ，有：

$:{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2$

类似地有：

$:{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3:=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2$

$:{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3$

量子场论中的应用

任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，$⟨0|{\hat{a}}^{†}$以及$\hat{a}|0⟩$都是0。

这里 ${\hat{a}}^{†}$ 和 $\hat{a}$ 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

参考文献

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
• T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268