哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程

在廣義相對論中，哈密頓-雅可比-爱因斯坦方程（Template:Lang-en，簡稱Template:Lang）是一道哈密頓形式、描述超空間中的幾何力學的方程。創於「幾何力學年代」，這方程由艾雪·佩雷斯在60年代前后和其他人铸造。目的是更正廣義相對論以令其成為量子理論的半古典近似，就像量子力學與古典力學一樣對應關係。

這方程包含了全部10道愛因斯坦場方程式（Template:Lang），亦是古典力學中哈密頓-雅可比方程式（Template:Lang）的修正，並可以從ADM形式中的愛因斯坦-希爾伯特作用量，以最小作用量原理推導。

背景及動機

古典與量子物理的對應關係

古典分析力學中的一個系統的動力學是由作用量Template:Math所概括。而各量子理論，即非相對論量子力學、相論對量子力學及量子場論，各有不同的詮釋及數學形式，但一個系統的行為都是完全由一個複機率幅 Template:Math（正式來說是量子態的ket Template:Math－希爾伯特空間中的元素)。Eikonal的半古典近似給出

$\mathrm{\Psi }=\sqrt{\rho }{e}^{iS/\hslash }$

當中Template:Math的相位可被詮釋為作用量，而模值Template:Math則可被根據哥本哈根詮釋為機率密度函數。約化普朗克常數Template:Math是「作用量的量子」。代入一般形式的薛丁格方程式（SE），則有

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\hat{H}\mathrm{\Psi },$

取Template:Math極限則得到古典的HJE：

$-\frac{\partial S}{\partial t}=H,$

這是對應原理其中一個結果。