Q拉盖尔多项式

q拉盖尔多项式是一个以基本超几何函数和Q阶乘幂定义的正交多项式

L_{n}^{(α)} (x; q) = \frac{(q^{α + 1}; q)_{n}}{(q; q)_{n}}_{1} ϕ_{1} (q^{- n}; q^{α + 1}; q, - q^{n + α + 1} x)

正交性

Q-拉盖尔多项式满足下列正交关系

\int_{a}^{b} L_{n}^{(α)} (x; q) * L_{m}^{(α)} (x; q) * (x^{α}) / (- x; q)_{\infty} d x = \frac{(q^{α} + 1; q)_{n}}{(q; q)_{n} * q^{n}}

在校q雅可比多项式的定义中，令 $a = q^{α}$ 以及 $x \to - b^{- 1} q^{- 1}$ ,并令 $b \to \infty$ ,即得q拉盖尔多项式。

令Q梅西纳多项式中 $b = q^{α}$ ,以及 $q^{- x} = c q^{α} x$ ,然后取 $c \to \infty$ 即得Q拉盖尔多项式。

$\lim_{c \to \infty} M_{n} (c q^{α} x; q^{α}, c; q) = \frac{(q; q)_{n}}{(q^{α + 1}; q)_{n}}$

下列 : $L_{5}^{(3.7)} (x + i y; q)$ 图，以q 为可变参数。