逆小波轉換

Template:Refimprove 逆小波轉換(inverse wavelet transform)為小波轉換的反函數，小波轉換大致分為三類

1. 連續小波轉換
2. 離散變數連續小波轉換
3. 離散小波轉換

分別介紹此三種的反函數

連續小波轉換反函數

已知

$X_w(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|(b)|}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\psi (\frac{t-a}{b})dt$

則逆轉換為

$x(t)={\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{b^{5/2}}{X}_w(a,b)\psi (\frac{t-a}{b})dadb$

其中

$C_{\psi }=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\mathit{\psi }(f){|}^2}{|f|}df<\mathrm{\infty }$

證明:

由於$X_w(a,b)=x(t)*\frac{1}{\sqrt[]{b}}\psi (\frac{-t}{b})$

假設$y(t)={\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{b^{5/2}}{X}_w(a,b)\psi (\frac{t-a}{b})dadb$

則$y(t)={\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)*\psi (\frac{-t}{b})*\psi (\frac{t}{b})\frac{db}{b^3}$

經過傅立葉轉換，原本的摺積性質變為相乘

$Y(f)={\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)\mathit{\psi }(-bf)\mathit{\psi }(bf)\frac{db}{b}$

如果母小波為實函數，則其傅立葉轉換有以下性質

$\mathit{\psi }(-f)={\mathit{\psi }}^{*}(f),\mathit{\psi }(-bf)\mathit{\psi }(bf)={\mathit{\psi }}^{*}(f)\mathit{\psi }(bf)=|\mathit{\psi }(bf){|}^2$

$Y(f)=X(f){\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\mathit{\psi }(bf){|}^2\frac{db}{b}$

$=X(f){\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\mathit{\psi }(f_1){|}^2\frac{d{f}_1}{bf}$(使用變數代換$f_1=bf$)

$=X(f){\frac{1}{C}}_{\psi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\mathit{\psi }(f_1){|}^2\frac{d{f}_1}{b{f}_1}$

$=X(f)$

得證$y(t)=x(t)$

離散變數連續小波轉換反函數

$x(t)=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{2}^{m/2}{\psi }_1(2^m-n)X_w(n,m)$

${\psi }_1(t)$為$\psi (t)$的雙效函數(dual function)，滿足以下正交(orthogonal)特性

$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{2}^m{\psi }_1(2^m-n)\psi (2^m{t}_1-n)=\delta (t-t_1)$

或是

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{2}^m{\psi }_1(2^{m_1}t-n_1)\psi (2^{m}t-n)dt=\delta (m-m_1)\delta (n-n_1)$

通常會設計成${\psi }_1(t)=\psi (t)$

因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{2}^m\psi (2^{m_1}t-n_1)\psi (2^{m}t-n)dt=\delta (m-m_1)\delta (n-n_1)$

離散小波轉換反函數

在這裡解釋的是如何重建(reconstruction)一個經過離散小波轉換的函數

以進行一階離散小波轉換，升降頻倍率為2為例，可以得到右圖的架構

DWT reconstruction

$g_1[n],h_1[n]$需要滿足一些條件才能使$x[n]=x_0[n]$

將此流程進行Z轉換及化簡可得到:

$X_0(z)=\frac{1}{2}[G(z)G_1(z)+H(z)H_1(z)]X(z)+\frac{1}{2}[G(-z)G_1(z)+H(-z)H_1(z)]X(-z)$

因此為了得到$X_0(z)=X(z)$，須滿足以下二條件

1. $G(z)G_1(z)+H(z)H_1(z)=2$
2. $G(-z)G_1(z)+H(-z)H_1(z)=0$

可轉換為 $\left[\begin{array}{cc}G(z)& H(z)\\ G(-z)& H(-z)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{G}_1(z)\\ H_1(z)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$

化簡得到$\left[\begin{array}{c}{G}_1(z)\\ H_1(z)\end{array}\right]=\frac{2}{det(H_m(z))}\left[\begin{array}{c}H(-z)\\ -G(-z)\end{array}\right]$ 其中$det(H_m(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)$

要滿足上式須滿足以下四個條件，此四條件及上式的關係為若且唯若

1. $\sum _{p}g[p]g_1[2n-p]=\delta [n]$
2. $\sum _{p}h[p]h_1[2n-p]=\delta [n]$
3. $\sum _{p}g[p]h_1[2n-p]=0$
4. $\sum _p{g}_1[p]h[2n-p]=0$

證明於參考條目中 因此只要$g_1[n],h_1[n]$符合上述條件就能將經過離散小波轉換的$x_{1,L}[n],x_{1,H}[n]$重建為x[n]

相關條目

• 數值分析
• 訊號處理

參考

1. Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform Template:Wayback