長球波函數

在數學中，長球波函數由一個限時、限頻、與第二個限時的函數相乘而成。假定$Q_T$表示一個切截時間的運算器，且$x=Q_{T}x$，則x必為有限時間區間的函數，當x在$[-T/2;T/2]$的區間內。同理，假定$P_W$表示一個理想的低頻濾波器，且$x=P_{W}x$，則x必為有限頻寬區間的函數，當x在$[-W;W]$的區間內。透過組合上述運算子，使得$Q_T{P}_W{Q}_T$轉變成線性、有界且Template:Le的運算式。對於$n=1,2,\dots$，我們假設${\psi }_n$為第n項的本徵函數，定義下列函式

$Q_T{P}_W{Q}_T{\psi }_n={\lambda }_n{\psi }_n,$

其中$\{{\lambda }_n{\}}_n$為對應的本徵值。此時限函數$\{{\psi }_n{\}}_n$即為長球波函數(PSWFs).在此領域中，幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。

這些函數有些不同的意涵，當在解亥姆霍兹方程$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }+k^2\mathrm{\Phi }=0$，透過在長球面坐標系做變數分離，使得$(\xi ,\eta ,\varphi )$各代表：

$x=(d/2)\xi \eta ,$

$y=(d/2)\sqrt{({\xi }^2-1)(1-{\eta }^2)}\cos \varphi ,$

$z=(d/2)\sqrt{({\xi }^2-1)(1-{\eta }^2)}\sin \varphi ,$

$\xi >=1$ and $|\eta |<=1$.

得到解$\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ,\varphi )$為長球波函數$R_{mn}(c,\xi )$與角球波函數$S_{mn}(c,\eta )$的成積乘上$e^{im\varphi }$. 這裡的變數c可定義為$c=kd/2$, with $d$為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。

徑向波(The radial wave function)$R_{mn}(c,\xi )$滿足線性常微分方程:

$({\xi }^2-1)\frac{d^2{R}_{mn}(c,\xi )}{d{\xi }^2}+2\xi \frac{d{R}_{mn}(c,\xi )}{d\xi }-({\lambda }_{mn}(c)-c^2{\xi }^2+\frac{m^2}{{\xi }^2-1})R_{mn}(c,\xi )=0$

此本徵值${\lambda }_{mn}(c)$在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定$R_{mn}(c,\xi )$為有限函數，當 $|\xi |\to 1_{+}$.

角波函數滿足下列微分方程：

$({\eta }^2-1)\frac{d^2{S}_{mn}(c,\eta )}{d{\eta }^2}+2\eta \frac{d{S}_{mn}(c,\eta )}{d\eta }-({\lambda }_{mn}(c)-c^2{\eta }^2+\frac{m^2}{{\eta }^2-1})S_{mn}(c,\eta )=0$

這跟徑向波函數式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函數中$\xi >=1$)，在角波函數中$|\eta |<=1$)。

當給定$c=0$，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定$c\ne 0$，角波函數可被展開成勒讓德級數。

注意，如果我們將角波函數寫成$S_{mn}(c,\eta )=(1-{\eta }^2{)}^{m/2}{Y}_{mn}(c,\eta )$，函數$Y_{mn}(c,\eta )$將滿足以下線性微分方程：

$(1-{\eta }^2)\frac{d^2{Y}_{mn}(c,\eta )}{d{\eta }^2}-2(m+1)\eta \frac{d{Y}_{mn}(c,\eta )}{d\eta }+(c^2{\eta }^2+m(m+1)-{\lambda }_{mn}(c))Y_{mn}(c,\eta )=0,$

此函數為球波函數。這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子。

現存不少不同的球函數標準化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。

一開始，球波函數是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品。

Flammer提供了一個完整的討論，計算出長球與扁球的本徵值、角波函數與徑函數。許多電腦程式已經因應發展出來，其中包含King與其團隊, Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 Template:Wayback

Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(-{R|http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。}-Template:Dead link

關於值域落在單位球的表面的長球波函數，我們通稱為"Slepian functions" (另見「頻譜集中問題」)。這函數存在非常多的應用，像是大地測量以及宇宙學.

外部連結

• MathWorld Spheroidal Wave functions Template:Wayback
• MathWorld Prolate Spheroidal Wave Function Template:Wayback
• MathWorld Oblate Spheroidal Wave function Template:Wayback