時頻分析轉換關係

Template:Cleanup-jargon 在時間與頻率的分析領域中，有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示，而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被-{}-里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析"，最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」，而此類方法中，最被廣泛使用的方法中以韋格納分布為其中之一，其他的時頻分布則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖，為「短時距傅立葉轉換」的平方，頻譜圖有著平方必為正的優點，容易由圖理解，但有著不可逆的缺點，如短時距傅立葉轉換不可逆計算，無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分布理論」。

本文主題雖是訊號處理領域，但是藉由量子力學的相空間來推導某些分布從A分布轉換至B分布的過程。一個信號在相同的狀況下，給與不同的時頻分布表示方式，透過簡單的平滑器或濾波器，計算出其他分布。

一般化

如果我們用變數ω=2πf，然後，借用量子力學領域中使用的符號，就可以顯示該時間-頻率表示，如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈，可表示為

$C(t,\omega )=\frac{1}{4{\pi }^2}\iiint s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau )s(u+\frac{1}{2}\tau )\varphi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}dud\tau d\theta ,$ (1)

$\varphi (\theta ,\tau )$為一定義其分布及特性之二維函數。

維格納分布的核為一。但在一般型式裡任何分布的核為一沒有任何的意義，在其他狀況下維格納分布的核應為其他結果。

特徵方程式

特徵方程式為雙傅立葉轉換，從方程式(1)可以得到

$C(t,\omega )=\frac{1}{4{\pi }^2}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }d\theta d\tau$ (2)

$\begin{array}{cc}M(\theta ,\tau )& =\varphi (\theta ,\tau )\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau )s(u+\frac{1}{2}\tau )e^{j\theta u}du\\ & =\varphi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\ \end{array}$ (3)

$A(\theta ,\tau )$ 為對稱模糊函數，特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

分布之間轉換關係

假設有兩個分布 $C_1$ and $C_2$,個別對應核為 ${\varphi }_1$ and ${\varphi }_2$，特徵方程式為

$M_1(\varphi ,\tau )={\varphi }_1(\theta ,\tau )\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau )s(u+\frac{1}{2}\tau )e^{j\theta u}du$ (4)

$M_2(\varphi ,\tau )={\varphi }_2(\theta ,\tau )\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau )s(u+\frac{1}{2}\tau )e^{j\theta u}du$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

$M_1(\varphi ,\tau )=\frac{{\varphi }_1(\theta ,\tau )}{{\varphi }_2(\theta ,\tau )}{M}_2(\varphi ,\tau )$ (6)

方程式(6)相當重要，其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分布之間的關係，需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

$C_1(t,\omega )=\frac{1}{4{\pi }^2}\iint \frac{{\varphi }_1(\theta ,\tau )}{{\varphi }_2(\theta ,\tau )}{M}_2(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }d\theta d\tau$ (7)

用$C_2$來表示$M_2$

$C_1(t,\omega )=\frac{1}{4{\pi }^2}⨌\frac{{\varphi }_1(\theta ,\tau )}{{\varphi }_2(\theta ,\tau )}{C}_2(t,{\omega }^{\text{'}})e^{j\theta (t^{\text{'}}-t)+j\tau ({\omega }^{\text{'}}-\omega )}d\theta d\tau d{t}^{\text{'}}d{\omega }^{\text{'}}$ (8)

可改寫成

$C_1(t,\omega )=\iint g_{12}(t^{\text{'}}-t,{\omega }^{\prime }-\omega )C_2(t,{\omega }^{\prime })d{t}^{\text{'}}d{\omega }^{\prime }$ (9)

其中，

$g_{12}(t,\omega )=\frac{1}{4{\pi }^2}\iint \frac{{\varphi }_1(\theta ,\tau )}{{\varphi }_2(\theta ,\tau )}{e}^{j\theta t+j\tau \omega }d\theta d\tau$ (10)

頻譜與其他雙線性相互關係

我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況，在方程式(9)中，$C_1$為頻譜圖而$C_2$ 為任意數，為了簡化符號使用以下表示，${\varphi }_{SP}={\varphi }_1$, $\varphi ={\varphi }_2$, $g_{SP}=g_{12}$，可被表示為

$C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}(t^{\text{'}}-t,{\omega }^{\text{'}}-\omega )C(t,{\omega }^{\text{'}})d{t}^{\text{'}}d{\omega }^{\text{'}}$ (11)

頻譜圖的核為

$\begin{array}{cc}{g}_{SP}(t,\omega )& =\frac{1}{4{\pi }^2}\iint \frac{A_h(-\theta ,\tau )}{\varphi (\theta ,\tau )}{e}^{j\theta t+j\tau \omega }d\theta d\tau \\ & =\frac{1}{4{\pi }^2}\iiint \frac{1}{\varphi (\theta ,\tau )}{h}^{*}(u-\frac{1}{2}\tau )h(u+\frac{1}{2}\tau )e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}dud\tau d\theta \\ & =\frac{1}{4{\pi }^2}\iiint h^{*}(u-\frac{1}{2}\tau )h(u+\frac{1}{2}\tau )\frac{\varphi (\theta ,\tau )}{\varphi (\theta ,\tau )\varphi (-\theta ,\tau )}{e}^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}dud\tau d\theta \\ \end{array}$ (12)

令$\varphi (-\theta ,\tau )\varphi (\theta ,\tau )=1$, $g_{SP}(t,\omega )$為窗函數，然而在$-\omega$狀況下得

$g_{SP}(t,\omega )=C_h(t,-\omega )$ (13)

使其核滿足 $\varphi (-\theta ,\tau )\varphi (\theta ,\tau )=1$

$C_{SP}(t,\omega )=\iint C_s(t^{\text{'}},{\omega }^{\text{'}})C_h(t^{\text{'}}-t,{\omega }^{\text{'}}-\omega )d{t}^{\text{'}}d{\omega }^{\text{'}}$ (14)

其核亦滿足$\varphi (-\theta ,\tau )\varphi (\theta ,\tau )=1$

其證明可見Janssen[4]. 當$\varphi (-\theta ,\tau )\varphi (\theta ,\tau )$不等於1時，

$C_{SP}(t,\omega )=⨌G(t^{{\text{'}}^{\prime }},{\omega }^{{\text{'}}^{\prime }})C_s(t^{\text{'}},{\omega }^{\text{'}})C_h(t^{{\text{'}}^{\prime }}+t^{\text{'}}-t,-{\omega }^{{\text{'}}^{\prime }}+\omega -{\omega }^{\text{'}})d{t}^{\text{'}}d{t}^{{\text{'}}^{\prime }}d{\omega }^{}d{\omega }^{{\text{'}}^{\prime }}$ (15)

$G(t,\omega )=\frac{1}{4{\pi }^2}\iint \frac{e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\varphi (\theta ,\tau )\varphi (-\theta ,\tau )}d\theta d\tau$ (16)