香农小波

在泛函分析中，香农小波（Template:Lang-en）（或Sinc小波）是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波，也可以是复小波。

香农小波在时域局域化特性不好（时域非紧支撑），但其傅里叶变换是带限的（频域是紧支撑）。因此香农小波的时间定位性能较差，但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反，因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。

定义

香农小波的构建从Sinc函数开始。

尺度函数

首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数：

${\varphi }^{\text{(Sha)}}(t):=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=\mathrm{sinc}(t).$

其伸缩和平移为：

${\varphi }_k^n(t):=2^{n/2}{\varphi }^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

其中，$n,k$ 为伸缩和平移的参数。

尺度函数的傅里叶变换为：

${\mathrm{\Phi }}^{\text{(Sha)}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{2\pi })=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2\pi },& \text{if }|\omega |\le \pi ,\\ 0& \text{if }\text{otherwise}.\end{array}$

其中（归一化的）矩形函数定义为：

$\mathrm{\Pi }(x):=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }|x|\le 1/2,\\ 0& \text{if }\text{otherwise}.\end{array}$

尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为：${\mathrm{\Phi }}_k^n(\omega )=\frac{2^{-n/2}}{2\pi }{e}^{-i\omega (k+1)/2^n}\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{2^{n+1}\pi })$

母小波

由尺度函数 ${\mathrm{\Phi }}^{\text{(Sha)}}$ 和多分辨率近似，我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式：

${\mathrm{\Psi }}^{\text{(Sha)}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }{e}^{-i\omega }(\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{\pi }-\frac{3}{2})+\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{\pi }+\frac{3}{2}))$

其伸缩和平移形式为：

${\mathrm{\Psi }}_k^n(\omega )=\frac{2^{-n/2}}{2\pi }{e}^{-i\omega (k+1)/2^n}(\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{2^n\pi }-\frac{3}{2})+\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{2^n\pi }+\frac{3}{2}))$

对其进行逆傅里叶变换，可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式：

${\psi }^{\text{(Sha)}}(t)=\frac{\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}=\mathrm{sinc}(t-\frac{1}{2})-2\mathrm{sinc}(2(t-\frac{1}{2}))$

${\psi }_k^n(t)=2^{n/2}{\psi }^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

进一步了解香农小波的构建可以参考。

尺度函数和母小波的性质

• 母小波是单位正交的：

$<{\psi }_k^n(t),{\psi }_h^m(t)>={\delta }^{nm}{\delta }_{hk}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }h=k\text{ and }n=m\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

• 尺度 $n=0$ 的尺度函数的平移是正交的：

$<{\varphi }_k^0(t),{\varphi }_h^0(t)>={\delta }^{kh}$

• 尺度$n=0$的尺度函数和母小波时正交的：

$<{\varphi }_k^0(t),{\psi }_h^m(t)>=0$

• 香农小波有无穷阶的消失矩

实香农小波

利用香农小波重建函数

假设信号 $f(x)\in L_2(ℝ)$ 满足 $\mathrm{supp}\mathrm{FT}\{f\}\subset [-\pi ,\pi ]$ 并对任意伸缩和平移参数 $n,k$都有：

$|\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t){\varphi }_k^0(t)dt|<\mathrm{\infty }$, $|\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t){\psi }_k^n(t)dt|<\mathrm{\infty }$

则

$f(t)=\sum _{k=\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k{\varphi }_k^0(t)$ 是一致收敛的，其中 ${\alpha }_k=f(k)$

实香农小波

在傅里叶变换中，香农母小波由下式给出：

${\mathrm{\Psi }}^{(\mathrm{Sha})}(w)=\prod \left(\frac{w-3\pi /2}{\pi }\right)+\prod \left(\frac{w+3\pi /2}{\pi }\right).$

其中（归一化）门函数由下式定义：

$\prod (x):=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }|x|\le 1/2,\\ 0& \text{if}\text{ otherwise}.\end{array}$

实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到：

${\psi }^{(\mathrm{Sha})}(t)=\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{3\pi t}{2}\right)$

也可按：

${\psi }^{(\mathrm{Sha})}(t)=2\cdot \mathrm{sinc}(2t-1)-\mathrm{sinc}(t),$

其中

$\mathrm{sinc}(t):=\frac{\sin \pi t}{\pi t}$

是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。 该小波有$C^{\mathrm{\infty }}$级的可微性，但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑，因为有频带限制的信号没有时间限制。

对于香农MRA（或是正弦MRA）的缩放函数由下面示例函数给出：

${\varphi }^{(Sha)}(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=\mathrm{sinc}(t).$

复香农小波

复连续香农小波由下式定义：

${\psi }^{(CSha)}(t)=\mathrm{sinc}(t).e^{-j2\pi t}$,

参考资料

• S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
• C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
• L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages.