極值長度

數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族$\mathrm{\Gamma }$的極值長度是$\mathrm{\Gamma }$的一個共形不變量。確切來說，設 $D$是複平面中的開集，$\mathrm{\Gamma }$是$D$中的路徑族，$f:D\to D^{\prime }$是一個共形映射。那麼$\mathrm{\Gamma }$的極值長度等於 $\mathrm{\Gamma }$在$f$下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義

設$D$是複平面中的開集。設$\mathrm{\Gamma }$是在$D$中的可求長曲線族。$\rho :D\to [0,\mathrm{\infty }]$是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線$\gamma$，設

$L_{\rho }(\gamma ):=\underset{\gamma }{\int }\rho |dz|$

表示$\gamma$的$\rho$長度，其中$|dz|$表示歐氏線元。（可能有$L_{\rho }(\gamma )=\mathrm{\infty }$。）又設

$L_{\rho }(\mathrm{\Gamma }):=\underset{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{\inf }{L}_{\rho }(\gamma ).$

$\rho$的面積定義為

$A(\rho ):=\underset{D}{\int }{\rho }^{2}dxdy,$

而$\mathrm{\Gamma }$的極值長度定義為

$EL(\mathrm{\Gamma }):=\underset{\rho }{\sup }\frac{L_{\rho }(\mathrm{\Gamma }{)}^2}{A(\rho )},$

其中最小上界是取自所有滿足$0<A(\rho )<\mathrm{\infty }$的博雷爾可測函數$\rho :D\to [0,\mathrm{\infty }]$。若$\mathrm{\Gamma }$包含了不可求長曲線，將$\mathrm{\Gamma }$中可求長曲線的子集記為 ${\mathrm{\Gamma }}_0$，則 $EL(\mathrm{\Gamma })$定義為$EL({\mathrm{\Gamma }}_0)$。

$\mathrm{\Gamma }$的模是$1/EL(\mathrm{\Gamma })$。

$\bar{D}$中的兩個集合在$D$中的極值距離，是在$D$中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

參考

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