亨斯托克-考兹维尔积分

Template:NoteTA 在数学中，亨斯托克-考兹维尔积分（Template:Lang-en，也称为卢津积分、 佩龙积分，有时为了和广义当茹瓦积分区别而称为当茹瓦积分）是黎曼积分的一种推广，有些情况下比勒贝格积分更加宽泛。

亨斯托克-考兹维尔积分最早是由二十世纪初法国数学家 Template:Le引进的。当茹瓦在研究形似：

f (x) = \frac{1}{x} \sin (\frac{1}{x^{3}}) .

的函数的时候，希望能够为它们定义积分。这种函数往往在某一点附近无法定义黎曼积分，但是用类似极限定义的 Template:Math 方法又能够定义出类似黎曼积分的极限。

为了给这类函数定义积分，当茹瓦将黎曼不可积的点分为若干种情形，分别用超限归纳法来定义积分。这样的定义繁复冗长。尼古拉·卢津使用类似绝对连续的方式给出了另一种等价定义；奥斯卡·佩龙也给出了一种等价的定义，但这个等价关系并不显然。

1957年，捷克数学家Template:Le给出了一种比较优雅的定义，和黎曼积分的定义比较相似。考兹维尔称之为“刻度积分”（Gauge Integral）。而Template:Le则发展并完善了这种积分理论。基于这两位数学家的贡献，现今一般将这种积分称为亨斯托克-考兹维尔积分。由于考兹维尔的定义和黎曼积分的定义同样简洁，有的数学教育者认为可以在教学中用亨斯托克-考兹维尔积分代替黎曼积分，但这个主张并未被广泛采纳。

定义

这里只给出亨斯托克的定义：

区间分割与刻度

给定一个取样分割Template:Math： $a = u_{0} < u_{1} < \dots < u_{n} = b, t_{i} \in [u_{i - 1}, u_{i}]$ 和一个正函数 $δ : [a, b] \to (0, \infty)$ （所谓的“刻度”），如果

\forall i, t_{i} - δ (t_{i}) < u_{i - 1} \leq t_{i} \leq u_{i} < t_{i} + δ (t_{i}) .

就称这个分割是一个δ-精细分割。^[1]

黎曼和

对一个在闭区间 $[a, b]$ 有定义的实值函数 $f$ ， $f$ 关于取样分割Template:Math： $x_{0}, \dots, x_{n}$ 、 $t_{0}, \dots, t_{n - 1}$ 的黎曼和定义为以下和式：

\sum_{i = 0}^{n - 1} f (t_{i}) (x_{i + 1} - x_{i})

和式中的每一项是子区间长度 $x_{i + 1} - x_{i}$ 与在 $t_{i}$ 处的函数值 $f (t_{i})$ 的乘积。直观地说，就是以标记点 $t_{i}$ 上的函数值 $f (t_{i})$ 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。^[1]