非整数进位制

非整数进位制是指底数不是正整數的进位制。對於一個非正整數的底數β > 1，以下的數值: $x = d_{n} \dots d_{2} d_{1} d_{0} . d_{- 1} d_{- 2} \dots d_{- m}$ 為

x = β^{n} d_{n} + \dots + β^{2} d_{2} + β d_{1} + d_{0} + β^{- 1} d_{- 1} + β^{- 2} d_{- 2} + \dots + β^{- m} d_{- m} .

而數字d_i為小於β的非負整數。此進位制可以配合所使用β，稱為β进制或β展開，後者的名稱是數學家Rényi在1957年開始使用^[1]，而數學家Parry在1960年第一個進行相關的研究^[2]。每一個實數至少有一個β进位制的表示方式（也可能是無限多個）。

β进制可以應用在编码理论^[3]及準晶體模型的描述^[4]^[5]。

建構

β进制是十進制的延伸。十進制的表示法不唯一（例如，1.000... = 0.999...），不過所有有限位數的十進制表示法是唯一的。有限位數β进制就不一定有此特性，例如，在β = φ（黃金比例）時，φ + 1 = φ。

針對特定實數，選擇其β进制各位數的方式，可以用以下的贪心算法產生，本質上是來自Template:Harvtxt，此處的公式則來自Template:Harvtxt。

令Template:Math是底數，x為非負的實數。令Template:Math是x的取整函数（小於等於x的最大整數），令Template:Math是x的小數部份。存在一整數k使得Template:Math。令

d_{k} = ⌊ x / β^{k} ⌋

且

r_{k} = {x / β^{k}} .

針對Template:Math，定義

d_{j} = ⌊ β r_{j + 1} ⌋, r_{j} = {β r_{j + 1}} .

換句話說，x的正規β進制表示法可以用以下方式得到：先選擇最大的d_k，使得Template:Math，再選擇最大的d_k−1，使得Template:Math，以此類推。此作法會選擇可以表示x，字典序最大的字串。

若是整數進位制，以上方式會產生一般整數進位制下的數值。因此此建構方式將一般的演算法推廣到非整數的基底β。