莱布尼茨三角形

Template:NoteTA 莱布尼茨三角形是一種將分數以等腰三角形排列的一種排列方式，三角形二側最外層的數字是其行編號的倒數，其中間的數字是其左側數字和左上方數字差的絕對值。若用代數方式表示：

Template:Math（Template:Math為行編號，最小編號為1）

Template:Math（Template:Math為為列編號，不會大於r）

莱布尼茨三角形是數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出。莱布尼茨三角形的前幾列為：

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}& & & & & & & & & 1& & & & & & & & \\ & & & & & & & & \frac{1}{2}& & \frac{1}{2}& & & & & & & \\ & & & & & & & \frac{1}{3}& & \frac{1}{6}& & \frac{1}{3}& & & & & & \\ & & & & & & \frac{1}{4}& & \frac{1}{12}& & \frac{1}{12}& & \frac{1}{4}& & & & & \\ & & & & & \frac{1}{5}& & \frac{1}{20}& & \frac{1}{30}& & \frac{1}{20}& & \frac{1}{5}& & & & \\ & & & & \frac{1}{6}& & \frac{1}{30}& & \frac{1}{60}& & \frac{1}{60}& & \frac{1}{30}& & \frac{1}{6}& & & \\ & & & \frac{1}{7}& & \frac{1}{42}& & \frac{1}{105}& & \frac{1}{140}& & \frac{1}{105}& & \frac{1}{42}& & \frac{1}{7}& & \\ & & \frac{1}{8}& & \frac{1}{56}& & \frac{1}{168}& & \frac{1}{280}& & \frac{1}{280}& & \frac{1}{168}& & \frac{1}{56}& & \frac{1}{8}& \\ & & & & & ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & \end{array}$

莱布尼茨三角形的分母列在Template:OEIS中，其分子均為1。

在楊輝三角形中，每一項都是其左上方和右上方數字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。

楊輝三角形可以用二項式係數來計算，而莱布尼茨三角形也可以用二項式係數來計算：$L(r,c)=\frac{1}{r\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{c-1})}$。而且可以用楊輝三角形中的項次來計算莱布尼茨三角形：「每一行的各項是第一項除以楊輝三角形中對應項次的結果」。

若將莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其結果會是$n{2}^{n-1}$。例如第3行的分母和為Template:Math。

特別是的莱布尼茨三角形中的各項可以用以下的積分式表示：

$L(r,c)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{c-1}(1-x{)}^{r-c}dx.$

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