反餘弦

Template:Expand Template:函數 反餘弦（arccosine, $\arccos$, ${\cos }^{-1}$）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反餘弦被定義為一個角度，也就是餘弦值的反函數，然而餘弦函數是雙射且不可逆的而不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反餘弦是單射和滿射也是可逆的，另外，我們也需要限制值域，且限制值域時，不能和反正弦定義相同的區間，因為這樣會變成一對多，而不構成函數，所以我們將反餘弦函數的值域定義在$[0,\pi ]$（[0,180°]）。另外，在原始的定義中，若輸入值不在區間$[-1,1]$，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間$[-1,1]$，將傳回複數。

命名

反餘弦的數學符號是$\arccos$，最常被記為${\cos }^{-1}$。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。

定義

原始的定義是將餘弦函數限制在$[0,\pi ]$（[0,180°]）的反函數
在複變分析中，反餘弦是這樣定義的:

$\arccos x=-\mathrm{i}\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

這個動作使反餘弦被推廣到複數。

拓展到複數的反餘弦函數

性質

反餘弦函數是一個定義在區間$[-1,1]$的嚴格遞減連續函數。

$\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$

（$\arccos :[-1,1]\to [0,180^{\circ }]$）

其圖形是對稱的，即對稱於點$(0,\frac{\pi }{2})$，或表示為$(0,90^{\circ })$，所以滿足$\arccos x=\pi -\arccos (-x)=180^{\circ }-\arccos (-x)$
反餘弦函數的導數是：
$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
反餘弦函數的泰勒級數是：

$\begin{array}{cc}\arccos x& =\frac{\pi }{2}-\arcsin x\\ & =\frac{\pi }{2}-(x+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)};|x|\le 1\end{array}$

基於上述級數在$|x|$接近1時收斂速度十分緩慢，在$x=-1$求得的泰勒級數是：

$\begin{array}{cc}\arccos x& =\pi -\sqrt{2(x+1)}(1+\left(\frac{1}{4}\right)\frac{x+1}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{4\cdot 8}\right)\frac{(x+1{)}^2}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}\right)\frac{(x+1{)}^3}{7}+\cdots )\\ & =\pi -\sqrt{2(x+1)}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{3n}(n!{)}^2}\right)\frac{(x+1{)}^n}{(2n+1)}\end{array}$

由於先前描述的對稱關係$\arccos x=\pi -\arccos (-x)$，可由上式計算$|x|$接近1時的反餘弦值。

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:

$\arccos x_1+\arccos x_2=\{\begin{array}{cc}\arccos (x_1{x}_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1+x_2\ge 0\\ 2\pi -\arccos (x_1{x}_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1+x_2<0\end{array}$

$\arccos x_1-\arccos x_2=\{\begin{array}{cc}-\arccos (x_1{x}_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1\ge x_2\\ \arccos (x_1{x}_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1<x_2\end{array}$.

應用

直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

參見

• 餘弦
• 反正弦