反正弦

Template:Expand Template:Unreferenced Template:函數 反正弦（arcsine，$\arcsin$，${\sin }^{-1}$）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。在实数域$ℝ$内，正弦函數的值域为$[-1,1]$，不是一個双射函數，故在整个定义域上無法有单值的反函數；但若限定正弦函數的定義域在$[-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ]$（$[180^{\circ }k-90^{\circ },180^{\circ }k+90^{\circ }]$）内，则正弦函数有反函数。在实数域内，通常将反正弦函数的定義域限制在區間$[-1,1]$，值域限制在區間$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$（$[-90^{\circ },90^{\circ }]$）中；若利用自然对数，则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集，但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。

命名

反正弦的符號是arcsin，也常常写作${\sin }^{-1}$。如此写法可以被接受的理由是，正弦函數的倒數是余割，有單獨的寫法，因此不易和${\sin }^{-1}$混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。

定義

原始的定義是將正弦函數限制在$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$（$[-90^{\circ },90^{\circ }]$）的反函數，得到如下定義域和值域：

$\arcsin :[-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

（$\arcsin :[-1,1]\to [-90^{\circ },90^{\circ }]$）

利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：

$\arcsin x=-\mathrm{i}\ln (\mathrm{i}x+\sqrt{1-x^2})$

拓展到複數的反正弦函數

運算

反正弦函数的导数是：

$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

故实数域内，它在整个定义域上单调递增。

反正弦函数的泰勒级数是：

$\arcsin x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{k})(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\cdots$.

反正弦函数是奇函数，故：

$\arcsin (-x)=-\arcsin x$

另外，反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達：

$\arcsin x_1\pm \arcsin x_2=\{\begin{array}{cc}X& \pm x_1{x}_2\le 0\vee x_1^2+x_2^2\le 1\\ \pi -X& x_1>0\wedge \pm x_2>0\wedge x_1^2+x_2^2>1\\ -\pi -X& x_1<0\wedge \pm x_2<0\wedge x_1^2+x_2^2>1\end{array}$

其中$X=\arcsin (x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2})$。

和差公式：

$\arcsin (x\pm y)=\arcsin \left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2{y}^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)\pm \arcsin \left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2{y}^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)$

倍變數公式：

$\arcsin (2x)=2\arcsin \left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)$

$\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)=2\arcsin \left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)$

$\arcsin (kx)=2\arcsin \left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2{x}^2}}{2}}\right)$（对0 ≤ kx ≤ 1）

$\arcsin (sinx)=\{\begin{array}{cc}-(X+\pi )& x\in [-\pi ,-\frac{\pi }{2}]\\ X& x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ \pi -X& x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]\end{array}$

參見

• 正弦
• 反餘弦