单环

Template:NoteTA Template:Rough translation 在环论中，若某非无零因子环除了Template:Le及其本身兩個理想外沒有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。

单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个結合代數。因此，单代数和单环是相同的概念。

此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环（即半单环）。在這種术语下，没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。

存在在自身上不是单模的单环，即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为$M_n(R)$的任何理想都具有$M_n(I)$的形式，其中$I$是$R$的理想），但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。

根据阿廷-韦德伯恩定理，所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间，则它必然與实数域、複數域或四元數域上的矩阵环同構。

单环，但非除环上的矩阵环的一个例子是Template:Le。

特徵

如果一個环不包含非平凡的雙邊理想，则它是一個單代数。

单代数的直接示例是除法代数，其中每个非零元素都有一个乘法逆，比如四元数的实代数。此外，可以证明在除環中有元Template:Nowrap矩阵的代数是單代數。实际上，它可以描述所有有限維度的单代数，直到同构為止。換言之，在其中心上的任何有限維度單代数与某个除法环上的Template:Le同构。1907年，约瑟夫·韦德伯恩在其博士学位论文《論超复数》中證明這一件事。該論文出現於伦敦数学学会论文集裡。韋德伯恩在其论文中分類了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块：在代数的意义上，任何有限維度的半单代数都是單代數的笛卡尔积。

後來阿廷-韦德伯恩定理將韋德伯恩的結果廣義化到半单环。

例子

• 一個Template:Le（有时称为布饒爾代数）是一个域F上的有限維度單代數，且該域的中心為F。

设R为实数域，C为複數域，H为四元数域。

• R上的所有有限維度單代數都與R、C或H上的矩陣環同構。R上的所有中心單代數都與R或H上的矩陣環同構。這些結果由Template:Le得出。
• C上的所有有限維度單代數都是中心單代數，與C上的矩陣環同構。
• 有限域上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構。
• 對於一個交换环，下列四個性質都是等價的：作為半單環、作為Template:Le阿廷环、作為克鲁尔维数為0的約化诺特环以及與域的有限直積同構。

韋德伯恩定理

Template:Main 韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵（左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化）。也就是說，所有此類的環都是除環上的Template:Nowrap矩陣，直至同構為止。

設D為一個除環，Template:Nowrap為D上有元矩陣的環。因此，可以證明Template:Nowrap中的所有左理想都用以下形式出現：

{M ∈ M_n(D) | M的第 n₁, ..., n_k行沒有元},

對於某個固定{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因此，Template:Nowrap中最小理想的格式為

{M ∈ M_n(D) | 除第k行外其餘所有行都沒有元},

對於某個給定的k。換言之，如果I是一個最小左理想，則Template:Nowrap，其中e是一個幂等矩阵，在Template:Nowrap元為1，在所有其他地方為0。此外，D與Template:Nowrap同構。左理想I可以視作Template:Nowrap上的右模。環Template:Nowrap與該模上同胚的代數同構。

以上例子引出了下列引理：

引理：A是一個單位為1，冪等元素為e的環，其中Template:Nowrap。設I為左理想Ae，視作一個eAe上的右模。則A與I上同胚的代數同構，以Hom(I)表示。

證明：我們使用Template:Nowrap定義「左規則表示」為Template:Nowrap，對於Template:Nowrap。Φ是单射的，因為如果Template:Nowrap，則Template:Nowrap，暗示Template:Nowrap。

對於满射，設Template:Nowrap。由於Template:Nowrap，元素1可以表達成Template:Nowrap。因此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σa_ieb_im) = Σ T(a_ieeb_im) = Σ T(a_ie) eb_im = [ΣT(a_ie)eb_i]m.

由於表達式[ΣT(a_ie)eb_i]不取決於m，Φ是滿射的。引理證畢。

從以上引理可以得出韋德伯恩定理。

定理（韋德伯恩）：如果A是一個有單位1和最小左理想I的環，則A與除環上Template:Nowrap矩陣的環同構。

證明eAe是一個除環，只需驗證引理的假設，即求一個冪等元素e使得Template:Nowrap。表明A是單環後可以得出Template:Nowrap這個假設。

參考文獻

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, Template:Isbn.  P.37.
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