几何数论

在数论中，几何数论（Template:Lang-en）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。

闵可夫斯基的结果

• 闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理：

假设Γ是在n维欧氏空间Rⁿ的格和K是中心对称凸体，$vol(K)>2^{n}vol(R^n/\mathrm{\Gamma })$ ，则K包含Γ非零的向量。

• 闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定义K数字λ最大下界，为 λ_k，称为连续最低。

则λK在Γ中ķ线性无关，则有：

${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_{n}vol(K)\le 2^{n}vol(R^n/\mathrm{\Gamma }).$

近现代几何数论研究

在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果（包括路易·莫德尔，哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔）。近年来，Lenstra，奥比昂，巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。

• 施密特子空间定理
• 在几何数论的子空间定理，由沃尔夫冈·施密特在1972年证明
• 设n是正整数，如果n个n维线性型L₁,...,L_n都具有代数系数，並且是线性无关的，那么对于任何给定的实数ε> 0，所有满足条件: $|L_1(x)\cdots L_n(x)|<|x{|}^{-ϵ}$ 的n维非零整数点x都在有限多个Qⁿ的真子空间内。

对泛函分析的影响

始于闵可夫斯基的几何数论在泛函分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明，对称凸体诱导有限维向量空间的范数。闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫推广到拓扑向量空间。柯尔莫哥洛夫的定理证明有界闭对称凸集生成Banach空间的拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集和非凸集取得了一些成果。

延伸阅读

• Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate texts in mathematics, Springer, 2007.
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• J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
• John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
• R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
• P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
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