輻射轉移

輻射轉移（Template:Lang-en）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為輻射轉移方程式（Template:Lang-en，Template:Lang），它被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用數值方式求解。

輻射場

輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（Template:Lang-en），而輻射場通常表達成Template:Link-en（Template:Lang）Template:NoteTag關於位置 $𝐫$、方向 $\widehat{𝐧}$ 和時間 $t$ 的的函數，寫成 $I_{\nu }(𝐫,\widehat{𝐧},t)$。

譜輻射率 $I_{\nu }$ 的定義如下。考慮一個位於 $𝐫$ 的單位面積 $\mathrm{d}a$，如果在單位時間 $\mathrm{d}t$ 內，有輻射能量 $\mathrm{d}{E}_{\nu }$ 從單位立體角 $\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$ 流經單位面積 $\mathrm{d}a$，且頻率介於 $\nu$ 和 $\nu +\mathrm{d}\nu$ 這個區間之內（輻射的極化在這裡被忽略），則

$\mathrm{d}{E}_{\nu }=I_{\nu }(𝐫,\widehat{𝐧},t)\cos \theta \mathrm{d}a\mathrm{d}\mathrm{\Omega }\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu$，

其中 $\theta$ 是輻射的單位向量 $\widehat{𝐧}$ 和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在MKS单位制中，就是W·m^-2·sr^-1·Hz^-1。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 $I_{\nu }(𝐫,\widehat{𝐧},t)$ 都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為輻射度量學名詞，在傳統天文學領域常常稱為比強度（Template:Lang）。

輻射轉移方程式

輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形，令 $s$ 是沿著輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過真空，則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變，於是有

$\frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}s}=0$。

現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

• 因為吸收（Template:Lang）而失去能量
• 因為發射（Template:Lang）而獲得能量
• 因為散射（Template:Lang）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為

$\frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}s}=j_{\nu }-{\alpha }_{\nu }{I}_{\nu }$。

此處 $j_{\nu }$ 是物質的譜發射係數Template:NoteTag，${\alpha }_{\nu }$ 是物質的譜衰減係數Template:NoteTag，而且可寫成 ${\alpha }_{\nu }={\alpha }_{\nu ,\mathrm{a}}+{\alpha }_{\nu ,\mathrm{s}}$，下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入光深度 $\tau$ 的概念；對上式使用 $\mathrm{d}\tau =\alpha \mathrm{d}s$ 進行變數變換，可得到

$\frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}{\tau }_{\nu }}=S_{\nu }-I_{\nu }$，

其中 $S_{\nu }\equiv j_{\nu }/{\alpha }_{\nu }$ 是Template:Link-en。當所有頻率 $\nu$ 的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 $\mathrm{d}I/\mathrm{d}s=0$，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是輻射平衡（Template:Lang）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為

$[\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}+(\widehat{𝐧}\cdot \mathrm{\nabla })]I_{\nu }=j_{\nu }-({\alpha }_{\nu ,\mathrm{a}}+{\alpha }_{\nu ,\mathrm{s}})I_{\nu }+\frac{{\alpha }_{\nu ,\mathrm{s}}}{4\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{I}_{\nu }\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$，

其中 $c$是光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對 $s$ 的導數，還納入了 $I_{\nu }$ 的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 $I_{\nu }$ 的角度平均。

輻射轉移方程式的解

求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_0)e^{-\tau (s_0,s)}+\underset{s_0}{\overset{s}{\int }}{j}_{\nu }(s^{\prime })e^{-\tau (s^{\prime },s)}\mathrm{d}{s}^{\prime }$，

這裡的 $\tau (s_1,s_2)$ 是兩個位置 $s_1$ 和 $s_2$ 中間介質的光深度：

$\tau (s_1,s_2)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{s_1}{\overset{s_2}{\int }}{\alpha }_{\nu }(s)ds$。

局部熱力平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力平衡（Template:Lang，Template:Lang）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為

$\frac{j_{\nu }}{{\alpha }_{\nu }}=B_{\nu }(T)$，

其中 $B_{\nu }(T)$ 是溫度 $T$ 時的黑體輻射的譜輻射率（即普朗克黑體輻射定律）。此時，輻射轉移方程式的解為

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_0)e^{-\tau (s_0,s)}+\underset{s_0}{\overset{s}{\int }}{B}_{\nu }(T(s^{\prime })){\alpha }_{\nu }(s^{\prime })e^{-\tau (s^{\prime },s)}\mathrm{d}{s}^{\prime }$。

了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

愛丁頓近似

愛丁頓近似（Template:Lang）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（Template:Lang）模型及天文學中的Template:Link-en模型。在這些模型裡，大氣的各種熱力性質呈現層狀（Template:Lang）分布，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 $z$ 軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑 $s$ 上的變化量與 $z$ 軸上的變化量的關係為Template:Sfn

$\mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}z}{\cos \theta }=\frac{\mathrm{d}z}{\mu }$ 。

我們稍後會解說定義 $\mu =\cos \theta$ 的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 $z$ 和 $\mu$ 的線性函數。使用變數變換 $\mathrm{d}s=\mathrm{d}z/\mu$ ，代入一維輻射轉移方程式，則有

$\mu \frac{\partial I_{\nu }}{\partial z}=j_{\nu }-{\alpha }_{\nu }{I}_{\nu }$

另一方面，我們定義譜輻射率 $I_{\nu }$ 關於 $\mu$ 的第 $j$ 階動差Template:NoteTag：

$M_j\equiv \frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}{\mu }^{j}I(\mu )\mathrm{d}\mu$，

之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 $\mu =\cos \theta$ 的函數，只要使用變數變換 $\mathrm{d}\mu =-\sin \theta \mathrm{d}\theta$ ，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 $A(\cos \theta )$ 是任意 $\mu =\cos \theta$ 的函數，則 $A(\cos \theta )$ 對於所有方向的立體角積分為Template:Sfn

$\int A(\cos \theta )\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\underset{\varphi =0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{\pi =0}{\overset{\pi }{\int }}A(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi =2\pi \underset{-1}{\overset{+1}{\int }}A(\mu )\mathrm{d}\mu$。

$I$ 關於 $\mu$ 的前幾階動差是

$J=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}I(\mu )\mathrm{d}\mu$，

$H=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mu I(\mu )\mathrm{d}\mu$，

$K=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\mu }^2{I}_{\nu }(\mu )\mathrm{d}\mu$。

此處 $J$ 是輻射強度的角度平均（Template:Lang），它恰好與能量密度 $U$ 成正比；$H$ 是愛丁頓通量（Template:Lang），與Template:Link-en $F$ 成正比；$K$ 也與輻射壓 $P$ 成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性」、但是有關於 $\mu =\cos \theta$ 的一階異向性，簡單來說，就是假定 $I$ 關於 $\mu$ 的泰勒級數只保留到一次項，於是 $I$ 成為 $\mu$ 線性函數：

$I(z,\mu )=a(z)+b(z)\mu$。

將這個函數代入上述動差的公式，可以得到

$J=a(z),H=\frac{b(z)}{3},K=\frac{a(z)}{3}$。

於是得到愛丁頓近似的重要結果：

$K=\frac{J}{3}$。

這等價於各項同性輻射場的重要條件 $P=U/3$，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出。

愛丁頓近似與Template:Link-en不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。

參見

• 吸收 (光學)
• 原子谱线
• 比尔－朗伯定律
• 發射光譜
• 大氣輻射轉移模型
• Template:Link-en（Template:Link-en）
• 辐射率
• 希沃特积分

延伸閱讀

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite web