局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

常见定义

设 $Ω$ 为欧几里得空间 $ℝ^{n}$ 中的一个开集。设 $f : Ω \to ℂ$ 是一个勒贝格可测函数。如果函数 $f$ 在任意紧集 $K \subset Ω$ 上的勒贝格积分都存在：

\int_{K} | f | d x < + \infty

那么就称函数 $f$ 为一个 $Ω$ -局部可积的函数^[1]。所有在 $Ω$ 上局部可积的函数的集合一般记为 $L_{l o c}^{1} (Ω)$ ：

L_{l o c}^{1} (Ω) = {f : Ω \to ℂ,

可测

| f \in L^{1} (K), \forall K \in 𝒫_{0} (Ω)}

其中 $𝒫_{0} (Ω)$ 指 $Ω$ 包含的所有的紧集的集合。

对于更一般的测度空间 $(X, d μ)$ ，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[2]。

所有 $Ω$ 上的连续函数与可积函数都是 $Ω$ -局部可积的函数。如果 $Ω$ 是有界的，那么 $Ω$ 上的L²函数也是 $Ω$ -局部可积的函数^[3]。
局部可积函数都是几乎处处有界的函数 $(X, d μ)$ ，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[4]。
复数值的函数 $f$ 是局部可积函数，当且仅当其实部函数 $R e (f) : x \to R e (f (x))$ 与虚部函数 $I m (f) : x \to I m (f (x))$ 都是局部可积函数。实数值的函数 $f$ 是局部可积函数，当且仅当其正部函数 $f_{+} : x \to {(f (x))}_{+}$ 与负部函数 $f_{-} : x \to {(f (x))}_{-}$ 都是局部可积函数^[4]。