多重对数函数

Template:Expert 多重对数函数（Template:Lang-en，也称：Template:Lang）是数学中一种特殊的幂级数，定义为：

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}.$

一般来说，多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数。上述定义中，自变量|z| < 1，s对所有复数值有效。通过解析延拓，可以将z的定义域扩展到更大的范围。

复平面上几种不同的多重对数函数

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)$	${\mathrm{Li}}_{-2}(z)$	${\mathrm{Li}}_{-1}(z)$	${\mathrm{Li}}_0(z)$	${\mathrm{Li}}_1(z)$	${\mathrm{Li}}_2(z)$	${\mathrm{Li}}_3(z)$

s = 1時的多重对数函数可以用自然對數表示（Li₁(z) = −ln(1−z)），s = 2和3的多重对数函数分別稱為dilogarithm及trilogarithm，其名稱的由來是多重对数函数表示為以下的遞迴積分式：

${\mathrm{Li}}_{s+1}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\mathrm{Li}}_s(t)}{t}\mathrm{d}t.$

因此s = 2的多重对数函数可表示為自然對數的積分，以此類推。若其階數s為零或負的整數，其多重对数函数為有理函數。

多重对数函数出現在费米-狄拉克分佈及玻色-爱因斯坦分佈解析解的積分式中，因此也稱為费米-狄拉克積分或玻色-爱因斯坦積分。

外部链接

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• Algorithms in Analytic Number Theory Template:Wayback provides an arbitrary-precision, GNU多重精度运算库-based, GPL-licensed implementation.