雷诺平均纳维-斯托克斯方程

雷诺平均纳维－斯托克斯方程（Template:Lang-en，简称RANS）是流体力学中一种用来描述湍流的时均纳维－斯托克斯方程。其思想是将湍流运动看作时间平均与瞬时脉动两种流动的叠加，即任一物理量$\varphi$满足：

$\varphi =\overline{\varphi }+{\varphi }^{\prime }.$

其中，$\overline{\varphi }$为时均值，${\varphi }^{\prime }$为脉动值。时均值可定义为：

$\overline{\varphi }=\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\underset{t}{\overset{t+\mathrm{\Delta }t}{\int }}\varphi (t)dt.$

如果不考虑密度脉动的影响，对纳维－斯托克斯方程中的物理量按上述方法取时间平均，可得到可压缩流体平均流动的控制方程（即雷诺平均方程）：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}(\rho 𝐮)=0$

$\frac{\partial (\rho u)}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho u𝐮)=\mathrm{div}(\mu \mathrm{grad}u)-\frac{\partial p}{\partial x}+[-\frac{\partial (\rho \overline{u{\text{'}}^2})}{\partial x}-\frac{\partial (\rho \overline{u^{\prime }{v}^{\prime }})}{\partial y}-\frac{\partial (\rho \overline{u^{\prime }{w}^{\prime }})}{\partial z}]+S_u$

$\frac{\partial (\rho v)}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho v𝐮)=\mathrm{div}(\mu \mathrm{grad}v)-\frac{\partial p}{\partial y}+[-\frac{\partial (\rho \overline{u^{\prime }{v}^{\prime }})}{\partial x}-\frac{\partial (\rho \overline{v{\text{'}}^2})}{\partial y}-\frac{\partial (\rho \overline{v^{\prime }{w}^{\prime }})}{\partial z}]+S_v$

$\frac{\partial (\rho w)}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho w𝐮)=\mathrm{div}(\mu \mathrm{grad}w)-\frac{\partial p}{\partial z}+[-\frac{\partial (\rho \overline{u^{\prime }{w}^{\prime }})}{\partial x}-\frac{\partial (\rho \overline{v^{\prime }{w}^{\prime }})}{\partial y}-\frac{\partial (\rho \overline{w{\text{'}}^2})}{\partial z}]+S_w$

如果使用张量中的指标符号，则又可表示为：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_i}(\rho u_i)=0$

$\frac{\partial }{\partial t}(\rho u_i)+\frac{\partial }{\partial x_j}(\rho u_i{u}_j)=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_j}(\mu \frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\rho \overline{{u_i}^{\prime }{u_j}^{\prime }})+S_i$

上式中的$-\overline{{u_i}^{\prime }{u_j}^{\prime }}$被称作雷诺应力，即：

${\tau }_{ij}=-\overline{{u_i}^{\prime }{u_j}^{\prime }}$

参考资料

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