波莱尔-坎泰利引理

波莱尔－坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利引理说明了，如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用，得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。

概率空间中的定理

设$E_n$为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔－坎泰利引理说明： 如果所有的事件$E_n$发生的概率$\mathbb{P}$的总和是有限的，

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(E_n)<\mathrm{\infty },$

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零：

$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n\right)=0$

其中的$\mathrm{lim\; sup}$是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合，所以$\mathrm{lim\; sup}{E}_n$就是指使得序列$E_n(\omega )$里面有无限多个事件一起发生的結果（outcome，或稱樣本輸出）$\omega$的集合。准确来说，

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{E}_k$。

证明

设(E_n)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(E_n)<\mathrm{\infty }$。

这等价于说，正项无穷级数${(\mathbb{P}(E_n))}_{n\ge 1}$收敛。所以，根据无穷级数的性质，级数的余项$\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(E_n)$的下极限是0：

$\underset{N\ge 1}{\inf }\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(E_n)=0.$

因此，

$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n\right)=\mathbb{P}\left(\bigcap _{N=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\right)\le \underset{N\ge 1}{\inf }\mathbb{P}\left(\bigcup _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\right)\le \underset{N\ge 1}{\inf }\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(E_n)=0$

推广

对于更一般的概率空间，波莱尔－坎泰利引理可以叙述如下：

设μ是一个集合X上的测度，装备了σ-代数F。设(A_n)为F中的一个序列。如果：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)<\mathrm{\infty }$

那么，

$\mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n\right)=0$

参考来源

• Template:Springer
• Template:Citation.
• Template:Citation.
• Template:Citation.
• Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.