椭圆算子

定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。

椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。

椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。Template:Le方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。

定义

${ℝ}^n$域$\mathrm{\Omega }$上的线性微分算子$L$

$Lu=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u$

被称为椭圆算子，如果对任意$x\in \mathrm{\Omega }$，任意非零$\xi \in {ℝ}^n$满足

$\sum _{|\alpha |=m}{a}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\ne 0$。

在许多应用中仅满足上述条件还远远不够，当$m=2k$时可用一致椭圆条件代替它： $(-1{)}^k\sum _{|\alpha |=2k}{a}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha }>C|\xi {|}^{2k},$ 其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。

非线性算子

$L(u)=F(x,u,({\partial }^{\alpha }u){)}_{|\alpha |\le 2k}$

是椭圆算子如果它关于$u$的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

实例：二阶算子

为了说明问题，我们选取二阶偏微分算子形式，

$P\varphi =\sum _{k,j}{a}_{kj}{D}_k{D}_j\varphi +\sum _{\ell }{b}_{\ell }{D}_{\ell }\varphi +c\varphi$

其中$D_k=\frac{1}{\sqrt{-1}}{\partial }_{x_k}$.如果满足高阶项系数矩阵x

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}(x)& a_{12}(x)& \cdots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x)& a_{22}(x)& \cdots & a_{2n}(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}(x)& a_{n2}(x)& \cdots & a_{nn}(x)\end{array}\right]$

为正定实系数对称矩阵，则这样的算子叫做椭圆算子。

参看

• 抛物偏微分方程
• 外尔引理