Clenshaw递推公式

在数值分析中，Clenshaw递推公式 (由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。

切比雪夫多项式

N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)

$p(x)=\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n(x)$

其中T_n是n阶切比雪夫多项式.

Clenshaw递推公式

Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定

$p(x)=\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n(x)$

我们定义

$b_N$	$:=a_N$
$b_{N-1}$	$:=2x{b}_N+a_{N-1}$
$b_{N-n}$	$:=2x{b}_{N-n+1}+a_{N-n}-b_{N-n+2},n=2,\dots ,N-1$
$b_0$	$:=x{b}_1+a_0-b_2$

于是

$p(x)=\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n(x)=b_0.$

(注)上面的公式在 $N=0,1$的情况下无意义。 此时我们可以用下面的公式：

$b_{N+2}:=0$

$b_{N+1}:=0$

$b_j:=2x{b}_{j+1}-b_{j+2}+a_j,j=N,\dots ,1$ (downward, omit if N=0)

$p(x):=x{b}_1-b_2+a_0$

$q(x):=2x{b}_1-b_2+a_0$

这里

$p(x)=\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n(x)$

或者

$q(x)=\sum _{n=0}^N{a}_n{U}_n(x)$

其中$U_n(x)$是第二类切比雪夫多项式。