旋轉不變性

Template:NoteTA 在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為旋轉不變性（rotational invariance），或旋轉對稱性（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以xyz-參考系的原點為固定點，任意旋轉xyz-參考系，而函數 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 的數值保持不變，因此，函數 $f(x,y,z)$ 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。

球對稱位勢範例

哈密頓算符的旋轉不變性

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 $V(r)$ ，其哈密頓算符 $H$ 可以表示為

$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(r)$ ；

其中，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$m$ 是質量，$r$ 是徑向距離。

現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 $\theta$ 角弧，則新直角坐標 ${𝐫}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ 與舊直角坐標的關係式為

$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$ 、

$y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$ 、

$z^{\prime }=z$ 。

偏導數為

$\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial x}-\sin \theta \frac{\partial }{\partial y}$ 、

$\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}=\sin \theta \frac{\partial }{\partial x}+\cos \theta \frac{\partial }{\partial y}$ 、

$\frac{\partial }{\partial z^{\prime }}=\frac{\partial }{\partial z}$ 。

那麼，導數項目具有旋轉不變性：

$\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2={\left(\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial z^{\prime }}\right)}^2={\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}^2={\mathrm{\nabla }}^2$ 。

由於徑向距離具有旋轉不變性：

$r^{\prime }=\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r$ ，

旋轉之後，新的哈密頓算符 $H^{\prime }$ 是

$H^{\prime }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2+V(r^{\prime })=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(r)=H$ 。

所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

角動量守恆

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 $V(r)$ ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 $R$ 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 $\delta \theta$ 。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為

$\sin \delta \theta \approx \delta \theta$ 、

$\cos \delta \theta \approx 1$ 。

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

$x^{\prime }\approx x-y\delta \theta$ 、

$y^{\prime }\approx x\delta \theta +y$ 、

$z^{\prime }=z$ 。

將 $R$ 作用於波函數 $\psi (x,y,z)$ ，

$R\psi (x,y,z)=\psi (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\approx \psi (x,y,z)+\frac{i}{\hslash }\delta \theta L_z\psi (x,y,z)$ ；

其中，$L_z$ 是角動量的 z-分量，$L_z=x{p}_y-y{p}_x=-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})$ 。

所以，旋轉算符 $R$ 可以表達為

$R=1+\frac{i}{\hslash }\delta \theta L_z$ 。

假設 ${\psi }_E(𝐫)$ 是哈密頓算符的能級本徵態，則

$H{\psi }_E(𝐫)=E{\psi }_E(𝐫)$ 。

由於 $𝐫$ 只是一個虛設變數，

$H^{\prime }{\psi }_E({𝐫}^{\prime })=E{\psi }_E({𝐫}^{\prime })$ 。

在做一個微小旋轉之後，

$RH{\psi }_E(𝐫)=RE{\psi }_E(𝐫)=ER{\psi }_E(𝐫)=E{\psi }_E({𝐫}^{\prime })$ 、

$HR{\psi }_E(𝐫)=H{\psi }_E({𝐫}^{\prime })=H^{\prime }{\psi }_E({𝐫}^{\prime })=E{\psi }_E({𝐫}^{\prime })$ 。

所以，$(RH-HR){\psi }_E(𝐫)=0$ 。哈密頓算符的能級本徵態 ${\psi }_E(𝐫)$ 形成一組完備集 (Template:Lang)，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

$[R,H]=0$ 。

因此，

$[L_z,H]=0$ 。

根據埃倫費斯特定理，$L_z$ 的期望值對於時間的導數是

$\frac{d}{dt}⟨L_z⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[L_z,H]⟩+⟨\frac{\partial L_z}{\partial t}⟩$ 。

所以，

$\frac{d}{dt}⟨L_z⟩=⟨\frac{\partial L_z}{\partial t}⟩$ 。

由於 $L_z$ 顯性地不含時間，

$\frac{d}{dt}⟨L_z⟩=0$ 。

總結，$⟨L_z⟩$ 不含時間，$L_z$ 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。

參閱

• 各向同性
• 軸對稱
• 明顯對稱性破缺
• 馬克士威定理 (Template:Lang)

參考文獻

• Template:Cite book
• Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。