闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某个微分形式 $\beta$ 使得 $\alpha =d\beta$，$\beta$ 称为关于 $\alpha$ 的一个“本原”。

因为 $d^2=0$，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 $d$ 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 $\zeta$ 与 $\eta$ 是闭形式，且存在某个 $\beta$ 使得

$\zeta -\eta =d\beta ,$

则我们说 $\zeta$ 与 $\eta$ 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

${ℝ}^2$ 与 ${ℝ}^2$ 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 $dx\wedge dy$，故只有 1-形式

$\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy,$

具有真正的意义，其外导数 $d$ 是

$d\alpha =(g_x-f_y)dx\wedge dy,$

这里下标表示偏导数。从而 $\alpha$“闭”的条件是

$f_y=g_x.$

当 $h(x,y)$ 是一个函数时则

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy.$

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在${ℝ}^2$上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理

庞加莱引理断言：如果 $X$ 是 ${ℝ}^n$ 中可缩开子集，对任何整数 $p>0$，任何定义在 $X$ 上的光滑闭 $p$-形式 $\alpha$ 是恰当的（这只在 $p\le n$ 有内容）。

可缩意味着存在同伦映射 $F_t:X\times [0,1]\to X$ 将 $X$ 形变为一点。从而任何 $X$ 中的闭链 $c$ 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 $X$ 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地，我们将 $X$ 与柱 $X\times [0,1]$ 联系起来，分别通过映射 $j_1(x)=(x,1)$与$j_0(x)=(x,0)$与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 $j_1^{*}$与 $j_0^{*}$ 由上链同伦联系：

$Kd+dK=j_1^{*}-j_0^{*}.$

令 ${\mathrm{\Omega }}^p(x)$表示 $X$ 上的 $p$-形式，映射$K:{\mathrm{\Omega }}^{p+1}(X\times [0,1])\to {\mathrm{\Omega }}^p(X)$是柱映射的对偶，定义为：

$a(x,t)d{x}^{p+1}\mapsto 0,a(x,t)dtd{x}^p\mapsto (\underset{0}{\overset{1}{\int }}a(x,t)dt)d{x}^p,$

这里 $d{x}^p$ 是一个不含 $dt$ 的单项 $p$-形式。所以如果$F$是$X$到一点$Q$的同伦形变，那么

$F\circ j_1=id,F\circ j_0=Q.$

在形式上：

$j_1^{*}\circ F^{*}=id,j_0^{*}\circ F^{*}=0.$

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在$t\in [0,1]$参数化圆周$S^1$上，闭 1-形式$dt$不是恰当的（注意：$t$不能定义为整个 $S^1$上的函数，但$dt$是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但$dt$在圆周上积分是$2\pi$。

参考文献

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