孤立奇点

Template:NoteTA Template:Complex analysis sidebar 假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不在包含其他的奇点，那么就称P是孤立奇点。

在亚纯函数中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具，例如洛朗展开、留数定理等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。

孤立奇点分为三种：

例子

函数 $\frac{1}{z}$ 在 $z = 0$ 处有孤立奇点。

余割函数 $\csc (π z)$ 在所有整数点处有孤立奇点。

函数 $\exp (\frac{1}{z})$ 在 $z = 0$ 处有孤立奇点，这是一个本质奇点。

三种孤立奇点有许多等价定义，以下列出部分，用以说明与洛朗级数的关系。

复函数 $f (z)$ 在一个以点 $c$ 为圆心的解析的环形区域 $D$ 上可以展开成这样的级数形式

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n}

其中， $a_{n}$ 具有这样的形式： $a_{n} = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f (z) d z}{(z - c)^{n + 1}} .$ 。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内。

此时， $f (z)$ 的洛朗展开式中，指数为负数的部分 $\sum_{n = - \infty}^{- 1} a_{n} (z - c)^{n}$ 称作 $f (z)$ 的主要部分(principal part)。

以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。

假设 $a$ 是复函数 $f (z)$ 的一个可去奇点，则 $f (z)$ 在 $a$ 处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
假设 $a$ 是复函数 $f (z)$ 的一个极点，则 $f (z)$ 在 $a$ 处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项；且主要部分的项数恰等于极点 $a$ 的阶数。
假设 $a$ 是复函数 $f (z)$ 的一个本性奇点，则 $f (z)$ 在 $a$ 处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。