割线法

在数值分析中，割线法是一个求根算法，该方法用一系列割线的根来近似代替函数f的根。

方法

割线法的最初两个迭代。红色曲线表示函数f，蓝色曲线表示割线。

割线法由以下的递推关系定义：

$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_n).$

从上式中可以看出，割线法需要两个初始值x₀和x₁，它们离函数的根越近越好。

方法的推导

给定x_n−1和x_n，我们作通过点(x_n−1, f(x_n−1))和(x_n, f(x_n))的直线，如右图所示。注意这条直线是函数f的割线，或弦。这条割线的点斜式直线方程为：

$y-f(x_n)=\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}(x-x_n).$

我们现在选择x_n+1为这条割线的根，因此x_n+1满足以下的方程：

$f(x_n)+\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}(x-x_n)=0.$

解这个方程，便可以得出割线法的递推关系。

收敛

如果初始值x₀和x₁离根足够近，则割线法的第n次迭代x收敛于f的一个根。收敛速率为α，其中：

$\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$

是黄金比。特别地，收敛速率是超线性的。

这个结果只在某些条件下才成立，例如f是连续的二阶可导函数，且函数的根不是重根。

如果初始值离根太远，则不能保证割线法收敛。