零点

零点的阶

如果 $f$ 可以被写成以下的形式：

f (z) = (z - a) g (z)

那么称 $a$ 是 $f$ 的简单零点，或称 $f$ 的一阶零点。其中 $a$ 是一个复数， $g$ 是全纯函数，且 $g (a)$ 不为零。

一般地，如果能找到一个最大的正整数 $n$ ,使得下式成立：

f (z) = (z - a)^{n} g (z)

且

g (a) \neq 0 .

那么，称 $n$ 为 $f$ 在 $a$ 处的零点的阶， $a$ 为函数 $f$ 的 $n$ 阶零点。

代数基本定理说明，任何一个不是常数的複系数多项式在复平面内都至少有一个零点。这与实数的情况不一样：有些实系数多项式没有实数根。一个例子是 $f (x) = x^{2} + 1$ 。

不恒为0的全纯函数的零点有一个重要的性质：零点都是孤立的。也就是说，对于不恒为0的全纯函数的任何一个零点，都存在一个邻域，在这个邻域内没有其它零点。