模曲線

在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。

「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。

定義

考慮上半平面 $\mathscr{H}:=\{z\in ℂ:\text{Im}(z)>0\}$。取 $\mathscr{H}$ 對模群 $\mathrm{\Gamma }:=\text{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的有限指數子群之商，所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是 $ℂ$ 上的平滑代數曲線；從複分析角度來看，便是緊黎曼曲面。

例子

對正整數 $N$，定義同餘子群

$\mathrm{\Gamma }(N):=\text{Ker}(\text{SL}(2,\mathbb{Z})\stackrel{\text{mod }N}{⟶}\text{SL}(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}))$。

相應的模曲線記為 $X(N)$，也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外，其複值點一一對應於下述資料的同構等價類：

$(E,P)$，$E$ 是複橢圓曲線、$P\in E(ℂ)$ 是 $N$-撓點。

當 $N\le 2$ 時，$X(N)$ 的虧格等於零，否則其虧格則是

$g(X(N))=1+\frac{N^2(N-6)}{24}\prod _{p|N}(1-p^{-2})$。

$\mathrm{\Gamma }(N)$ 的模形式可理解為 $X(N)$ 上某族線叢的截面。此時可以用幾何方式研究赫克算子，因為它們由模曲線之間的對應給出。

外部連結

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