黑林格-特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。

敘述

設$\mathscr{H}$為希爾伯特空間，$T:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$是處處定義的對稱線性算子，即對任意$x,y\in \mathscr{H}$都有等式

$⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$。

那麼，$T$有界（因此也是連續）。

證明

從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列$(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$趨於0，$y:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{x}_n$，那麼$y=0$。因為內積在$\mathscr{H}$上連續，故得

$\begin{array}{cc}⟨y,y⟩& =⟨\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{x}_n,y⟩\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨T{x}_n,y⟩\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,Ty⟩\\ & =⟨\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n,Ty⟩\\ & =⟨0,Ty⟩\\ & =0\end{array}$

所以$y=0$。

推論

• 任何對稱且在$\mathscr{H}$上處處定義的算子是自伴算子。
• 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

物理結果

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是$L^2(ℝ)$，即$ℝ$上平方可積函數空間，能量算符$H$定義為（設其單位選取使得$\hslash =m=\omega =1$）

$[Hf](x)=-\frac{1}{2}\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}^2}f(x)+\frac{1}{2}{x}^{2}f(x).$

這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個$L^2(ℝ)$上定義。

參考

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)